Soit p un nombre premier, et n un entier supérieur à p qui n'est pas divisible p – 1. On pose . Ainsi,

n = (p – 1)K + r,   avec 0 < r < p – 1.

Démontrer que

est divisible par p.

Que peut-on dire au sujet des angles d'un triangle dont la somme des cubes des côtés divisé par son périmètre donne l'aire du carré sur un de ses côtés?

Pour le troisième mois de l'année, nous vous proposons un problème en trois parties:

1. Pouvez-vous trouver deux entiers s et t supérieurs à 1 tels que (s^s)² = t^t?
   
   
2. Pouvez-vous trouver deux entiers s et t supérieurs à 1 tels que ( s^s)²⁰¹⁰ = t^t?
   
   
3. Pouvez-vous trouver deux entiers s et t supérieurs à 1 tels que s^(s2010) = t^t?

Après chaque match, les onze joueurs de l'équipe locale de football se réunissent au bar pour prendre un verre. Ensuite ils roulent deux dés, et le joueur dont le numéro de chandail est la somme des valeurs obtenues paie l'addition. (Ils portent les numéros 2 à 12.) Votre mission du mois est d'apporter un peu de justice à cette opération.

Montrez comment on peut piper deux dés, un vert et un rouge, de telle sorte que les onze sommes de 2 à 12 soient équiprobables, ou démontrez que c'est impossible.

Bonne et heureuse année 2010. L'équipe du problème du mois vous propose
une ultime réflexion au sujet de 2009:

Démontrer que le produit

est une puissance de 2.

stamp-search.com

Après que Blanche-Neige eût épousé son prince pour filer un bonheur parfait, la mine a fermé et les sept nains ont pris leur retraite. Ils vivent maintenant aux quatres coins du pays et communiquent par courriel. Ils se retrouvent toujours à Noël pour un échange de présents, mais maintenant ils ont du mal à établir la liste pour l'échange: Dans le bon vieux temps ils se réunissaient au début de décembre, et Blanche-Neige et chaque nain pigeait dans un sac le nom de la personne à qui offrir un présent. Mais cette année, ils ne se verront pas avant Noël, et alors il sera trop tard. Ils pourraient bien sûr demander à l'un d'entre eux d'établir la liste, et d'envoyer à tout le monde le nom de la personne à qui offrir un présent. Mais cette solution a deux inconvénients:

• La personne qui établirait la liste saurait qui lui offre un présent,
  
  
• et les autres ne pourraient jamais être certains que la liste est bien
  le résultat du hasard, sans tricherie. En effet plusieurs rechignent à
  recevoir un présent de Simplet, en donner un à Grincheux ou devoir
  embrasser Atchoum.

Ce mois-ci, votre tâche est de créer la version ``courriel'' de la pige de noms dans un sac pour faire une liste d'échange de présent. Spécifiquement, trouvez une procédure qui

1. N'utilise que des courriels entre Blanche-Neige et les sept nains,
   sans aide d'autres personnes ou de logiciels (Les courriels peuvent
   avoir un destinataire unique ou de multiples destinataires.)
   
   
2. Donne à chacun le nom de la personne à qui offrir un présent, sans
   révéler à personne le nom de la personne qui lui offre un présent.
   
   
3. Donne un résultat aléatoire, ou personne ne peut décider qui
   offre un présent à qui.

Votre méthode va peut-être même améliorer la méthode traditionnelle: Lorsqu'une personne pige son propre nom dans le sac, alors on doit remettre tous les noms dans le sac, et repartir à zéro. Essayez de trouver une méthode qui fonctionne à tout coup, sans donner à personne son propre nom.

Soit une grille 4 par 4 de mots croisés sans cases noires.
Elle contient donc quatre mots horizontaux et quatre mots verticaux.
Les sept mots suivants apparaissent dans la grille:

MPMM, DMPM, DMPP, DDMD, DDMP, PDDM, and PDPM.

Quel est le huitième?

Notre problème de novembre vient de la collection de Joe Konhauser
(1924-1992), qui fut professeur de mathématiques au collège Macalester.

Un tournoi à élimination directe est une compétition en plusieurs tours. À
chaque tour les compétiteurs sont appariés, le vainqueur de chaque partie
passe au tour suivant et le perdant est éliminé. Une "exemption'' doit
parfois être accordée à un joueur qui n'a pas d'adversaire désigné à un
tour donné, et passe donc directement au tour suivant. Par exemple, avec 6
compétiteurs, on peut accorder deux exemptions au premier tour, ou bien
une seule exemption au deuxième tour. Notre problème du mois porte sur le
nombre minimal d'exemption qui doivent être accordées dans un tournoi à
élimination directe à n compétiteurs.

1. 2010 compétiteurs étaient inscrits au tournoi international de "Je te
   tiens, tu me tiens par la barbichette'', à élimination directe. Quel est
   le nombre minimal d'exemptions qui auraient dû être accordées?
   
   
2. À cause d'un scandale de dopage, seulement 1025 des compétiteurs ont pu
   participer. Combien d'exemptions ont dû être accordées?

Soit f, une fonction telle que

(i) f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)], et
(ii) f(1) = 1.

Déterminer f(22/7).