Trouver toutes les paires de nombres réels $c$ et $d$ tels que toutes les racines des polynômes
$$6x^2-24x-4c \quad \mbox{ et } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8$$
sont des réels non négatifs.

Une fraction unitaire est une fraction $\frac1n$ dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif $n$. La fraction unitaire $\frac1{10}$ peut être représentée en tant que différence de deux fractions unitaires de quatre façons :
$$\frac1{10}=\frac15-\frac1{10}; \quad \frac1{10}=\frac16-\frac1{15};
\quad
\frac1{10}=\frac18-\frac1{40}; \quad \frac1{10}=\frac19-\frac1{90}. $$
De combien de façons différentes peut-on représenter la fraction $\frac1{2013}$ en tant que différence de deux fractions unitaires?

Trouver toutes les fonctions réelles $f(x)$ telles que
$$f\left(x^3+y^3\right) = x^2f(x) + yf(y^2) $$ pour tous réels $x$ et $y$.

Soit cinq segments, dont le plus long ne dépasse pas la somme des longueur des deux plus courts. On peut donc former dix triangles en choisissant n'importe quels des trois segments comme côtés. Démontrer qu'au moins un de ces dix triangles a trois angles aigus.

Trouver tous les entiers positifs $n$ tels que $n+184$ et $n-285$ sont des cubes d'entiers.

1. Soit $w$, un mot (séquence) de $n$ lettres choisies (avec répétitions permises) parmi celles du mot "chikwangue''. Démontrer qu'il existe une bijection de
   $\{ \mbox{c, h, i, k, w, a, n, g, u, e} \}$ dans $\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ telle qu'en remplaçant chaque lettre par le chiffre correspondant, on obtient un multiple de 3. Par exemple, avec la correspondance $\mbox{c}=0, \mbox{h}=1, \mbox{i}=2, \ldots, \mbox{e}=9$, "uniguaneaukiwi'' donne 86278569583242, un multiple de 3.
   
   
2. Donner un exemple d'un tel mot pour lequel aucune bijection de $\{ \mbox{c, h, i, k, w, a, n, g, u, e} \}$ dans $\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$ ne permet d'obtenir un multiple de 7 en substituant chaque lettre par le chiffre correspondant.

(Note: Le chikwangue est un mets traditionnel du bassin du fleuve Congo, aussi apprécié par les amateurs de scrabble. L'iguane au kiwi, c'est juste pour rire.)

1. Est-ce qu'il existe une fonction strictement décroissante
   $f: \mathbf{ R} \rightarrow \mathbf{ R}$ telle que $f \left(f(x)\right) = x+1$ pour tout $x\in \mathbf{ R}$?
   
   
2. Est-ce qu'il existe une fonction strictement décroissante
   $g: \mathbf{ R} \rightarrow \mathbf{ R}$ telle que $g \left(g(x)\right) = 2x+1$ pour tout $x\in \mathbf{ R}$?

(Une fonction $f: \mathbf{ R} \rightarrow \mathbf{ R}$ est strictement décroissante si on a $f(a) > f(b)$ dès que $a < b$.)

$N$ est un ensemble de nombres compris entre 1 et 15 (inclusivement) tel q'aucun produit de trois nombres distincts de $N$ n'est un carré parfait. Par exemple, si $N$ contient 2 et 6, alors il ne contient pas 12, parce que $2\cdot 6 \cdot 12 = 144$, un carré parfait. Quelle est la cardinalité maximale possible de $N$?