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Solution au problème de mars 2013
| Le problème: |
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Une fraction unitaire est une fraction $\frac1n$ dont le numérateur est 1 et le dénominateur est un entier positif $n$. La fraction unitaire $\frac1{10}$ peut être représentée en tant que différence de deux fractions unitaires de quatre façons :
$$\frac1{10}=\frac15-\frac1{10}; \quad \frac1{10}=\frac16-\frac1{15};
\quad
\frac1{10}=\frac18-\frac1{40}; \quad \frac1{10}=\frac19-\frac1{90}. $$
De combien de façons différentes peut-on représenter la fraction $\frac1{2013}$ en tant que différence de deux fractions unitaires?
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Réponses correctes: |
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La réponse :. De 13 façons.
Nous avons reçu les solutions correctes de
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Lamis Alsheikh
(Syrie)
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Jose Arraiz
(France)
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Ricardo Bernabé Baloni
(Argentine)
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Luigi Bernardini
(Italie)
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Aleksandar Blazhevski
(Macédoine)
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Radouan Boukharfane
(Québec)
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Lou Cairoli
(États Unis)
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Saturnino Campo Ruiz
(Espagne)
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Ioan Viorel Codreanu
(Roumanie)
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Ruben Victor Cohen
(Argentine)
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Bernard Collignon
(France)
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Olivier Cyr
(France)
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Hubert Desprez
(France)
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Jean Drabbe
(Belgique)
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Allen Druze
(États Unis)
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Mei-Hui Fang
(Autriche)
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Federico Foieri
(Argentine)
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Philippe Fondanaiche
(France)
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Jan Fricke
(Allemagne)
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Georges Ghosn
(Québec)
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Pierre Gobin
(France)
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Gruian Cornel
(Roumanie)
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Tony Harrison
(Royaume Uni)
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James W. Hovious
(États Unis)
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Gilbert Julia
(France)
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Farid Lian
(Colombie)
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Matthew Lim
(États Unis)
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Nawal Kishor Mishra
(Inde)
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Muralidharan Prasaanth (États Unis)
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Sanjeev Ramachandra Nimishakavi
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Nicolás Otero
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Don Redmond
(États Unis)
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Mathias Schenker
(Suisse)
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Heri Setiyawan
(Indonésie)
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Albert Stadler
(Suisse)
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Hakan Summakoğlu
(Turquie)
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Bruno Tisserand
(France)
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Authur Vause
(Royaume Uni)
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La solution:
Voici la solution d'Olivier Cyr.
"Trouver toutes les façons d'écrire $\frac{1}{2013}$en
tant que différences de 2 fractions unitaires revient à
résoudre l'équation
$$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{2013}$$
dans $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$.
Pour résoudre cette
dernière, on peut multiplier par $2013 a b$ les deux membres
de l'équation :
$$ 2013 b-2013 a=a b
$$
$$\Leftrightarrow -a b-2013 a+ 2013b+ 2013^2
=2013^2$$
$$\Leftrightarrow ( 2013-a)(2013+ b)=2013
.$$
Ainsi, la dernière forme de l'équation nous indique que,
pour la résoudre, il s'agit d'identifier toutes les
décompositions en produit de 2 facteurs de $2013^2$.
De
plus, puisque $a$ et $b$ sont strictement positif, on a
$2013-a <2013+b$, ce qui indique que chaque
couple de
facteurs doit être ordonné et donc, qu'il ne correspondra
qu' à une seule solution.
Le tableau ci-dessous décrit toutes ces solutions : les 2
colonnes de gauche donnant toutes les
décompositions
possibles en produit de 2 facteurs de $2013^2$ et celles de
droite, les valeurs de $a$ et de $b$ correspondantes.
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$2013^2 = 3^2 \times 11^2 \times 61^2$
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$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} =
\frac{1}{2013}$
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$2013-a$
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$b+2013$
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$a$
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$b$
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$3^0 \times 11^0 \times 61^0 = 1$
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$3^2 \times 11^2 \times 61^2 = 4052169$
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2012
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4050156
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$3^1 \times 11^0 \times 61^0 = 3$
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$3^1 \times 11^2 \times 61^2 = 1350723$
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2010
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1348710
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$3^2 \times 11^0 \times 61^0 = 9$
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$3^0 \times 11^2 \times 61^2 = 450241$
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2004
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448228
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$3^0 \times 11^1 \times 61^0 = 11$
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$3^2 \times 11^1 \times 61^2 = 368379$
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2002
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366366
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$3^1 \times 11^1 \times 61^0 = 33$
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$3^1 \times 11^1 \times 61^2 = 122793$
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1980
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120780
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$3^0 \times 11^0 \times 61^1 = 61$
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$3^2 \times 11^2 \times 61^1 = 66429$
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1952
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64416
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$3^2 \times 11^1 \times 61^0 = 99$
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$3^0 \times 11^1 \times 61^2 = 40931$
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1914
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38918
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$3^0 \times 11^2 \times 61^0 = 121$
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$3^2 \times 11^0 \times 61^2 = 33480$
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1892
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31476
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$3^1 \times 11^0 \times 61^1 = 183$
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$3^1 \times 11^2 \times 61^1 = 22143$
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1830
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20130
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$3^1 \times 11^2 \times 61^0 = 363$
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$3^1 \times 11^0 \times 61^2 = 11163$
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1650
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9150
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$3^2 \times 11^0 \times 61^1 = 549$
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$3^0 \times 11^2 \times 61^1 = 7381$
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1464
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5368
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$3^0 \times 11^1 \times 61^1 = 671$
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$3^2 \times 11^1 \times 61^1 = 6039$
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1342
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4026
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$3^2 \times 11^2 \times 61^0 = 1089$
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$3^0 \times 11^0 \times 61^2 = 3721$
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924
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1708
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On remarquera que la décomposition $2013 =2013 \times
2013$ n'apparait pas dans le tableau puisque les
valeurs de
$a$ et de $b$ correspondant à cette décomposition sont
nulles, ce qui n'est pas possible.
Il y a donc 13 façons différentes de représenter
$\frac{1}{2013}$ en tant que différences de 2 fractions
unitaires.''
Notes : Collignon utilise la formule qui donne
le nombre de diviseurs d'un nombre :
"[...] On a : $2013 = 3 \times 11 \times 61$ donc
$2013^2 = 3^2 \times 11^2 \times 61^2$. Donc $2013^2$ possède
$(2 + 1) \times (2 + 1) \times (2 + 1) = 3 \times 3 \times 3
= 27$ diviseurs car tous ses diviseurs sont du type $3^a
\times 11^b \times 61^c$ avec $(a,b,c) \in \{0,1,2\}^3$.
Parmi ces diviseurs, seuls 13 d’entre eux sont inférieurs
à 2013 [...]''
On note que $13 = \frac{27-1}{2}$. En général, lorsque
$n = p_1^{e_1} \times \ldots \times p_k^{e_k}$, où $p_1,
\ldots p_k$ sont premiers, on a $n^2 = p_1^{2e_1} \times
\ldots \times p_k^{2e_k}$, qui a $(2e_1 + 1) \times \ldots
\times (2e_k + 1)$ facteurs, soit un nombre impair de
facteurs. L'un d'entre eux est $n$, et les autres se
regroupent en paires $\{k, n/k\}$, où $a < n$.
Jean Drabbe nous apprend que "Dujardin [L'INTERMEDIAIRE
DES MATHEMATICIENS, tome III – 1896, p.14] a traité en
1896 le problème général « trouver les représentations
de $1 / n$ en tant que somme de deux fractions unitaires »''.
Nos références sont plus récentes : notre problème
est inspiré du problème
2175 de Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem,
23:7 (novembre 1997), pages 443-444, proposé
par Christopher J. Bradley, et résolu par Kipp Johnson, qui
est aussi un de nos correspondants réguliers. Par une
étrange
coïncidence,
le problème
est aussi paru à la même époque dans American
Mathematical Monthly,
105:4
(avril 1998) p. 372.
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