En guise de réchauffement, vous pouvez compléter le jeu de points à relier suivant pour découvrir une excellente source de vitamine B.

Un "jeu de points à relier" est une collection de $n$ points dans le plan, numérotés 1 à n, telle qu'aucune droite ne contient trois points consécutifs $i, i+1, i+2$
(ou $n-1, n, 1$ ). Notre problème comporte deux parties.

1. Démontrez que pour tout $n \geq 14$ , on peut composer un jeu de points à relier avec $n$ points tel que toute droite contenant une paire de points consécutifs contient au moins une deuxième paire de points consécutifs.

2. Démontrez que dans tout jeu de points à relier avec 13 points, il existe une paire de points consécutifs telle que la droite passant par ces deux points ne contient aucune autre paire de points consécutifs.

1. Existe-t-il une fonction continue $f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\;$ qui prend chacune des valeurs de son image deux fois exactement?
   
   
2. Existe-t-il une fonction continue $f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\;$ qui prend chacune ses valeurs de son image trois fois exactement?

Ce mois-ci, notre problème rend hommage à Jorge Luis Borges, auteur de La Bibliothèque de Babel et Le Livre de Sable.

L'Encyclopédie Cabbaliste de l'Alphabet

est un recueil de sept volumes énumérant toutes les permutations de l'alphabet, en ordre alphabétique. Puisque ces permutations sont très nombreuses, les volumes sont très gros, et l'écriture y est minuscule. Chaque volume contient exactement la septième partie de la liste des permutations. Ainsi, en examinant à la loupe la première page du premier volume, vous verrez tout en haut la toute première permutation, soit

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

suivie de

abcdefghijklmnopqrstuvwxzy.

Le problème: Quelle est la dernière permutation de ce premier volume?

Déterminer les valeurs des nombres naturels $n$ et $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ telles que $a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = 2011$ et le produit $a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \dots \cdot a_n$ est le plus grand possible.

Selon la formule de Héron, l'aire d'un triangle est déterminée par les longueurs de ses trois côtés. Est-ce que le volume d'un tétraèdre est déterminé par les aires de ses quatre faces?

Est-ce que (20102011!)² est plus grand que 20102011^20102011?

Un plombier a une pile de tuyaux de même longueur, et une boîte de raccords en coude à angle droit. Il se rend compte qu'il ne peut pas les utiliser pour former un pentagone, mais qu'il peut former des polygones à six et à sept côtés. Démontrer que le plombier a raison.

(On ne peut pas connecter les tuyaux directement ensemble. Il faut toujours utiliser un coude pour connecter deux tuyaux, et donc former un angle droit.)