Il y a quelque chose qui cloche dans l'ordre habituel des entiers qu'on nous apprend dès l'enfance. En effet, lorsqu'on compte 1, 2, 3, ..., on note que la sommedes n premiers entiers positifs n'est pas toujours un multiple de n. Lorsque n est impair ça va, mais par contre 1 + 2 n'est pas un multiple de 2, 1 + 2 + 3 + 4 n'est pas un multiple de 4, et ainsi de suite. Aussi, notre problème de ce mois est de trouver une meilleure façon d'ordonner les entiers positifs:
Trouver une suite a₁, a₂, a₃, ... d'entiers positifs telle que
            (i) tout entier positif apparait une et une seule fois dans la suite, et
            (ii) pour tout n, a₁ + a₂ + ... + a_n est un multiple de a_n

Trouver deux entiers a et b tels que ni 7, ni 18 ne divise ab(a+b), alors que 7⁷ divise (a+b)⁷-a⁷-b⁷.

Ce mois-ci, notre problème met à l'épreuve votre culture mathématique. On appelle "tétraèdre'' un polyèdre à six arêtes, et "pyramide'' un polyèdre à huit arêtes. Comment appelle-t-on un polyèdre à sept arêtes?

(Ici, un polyèdre est un solide tridimensionnel borné par des faces
polygonales. Chaque arète joint deux sommets, et constitue le côté commun
à deux faces. Un sommet est un point où se rencontrent trois arêtes ou
plus, et forme un coin où trois faces ou plus se rencontrent.)

1. Trouver un nombre de six chiffres qui est augmenté par un facteur de 6
   si on interchange ses premier et dernier blocs de trois chiffres.
   C'est-à-dire que si le nombre s'écrit abcdef en base dix, alors
                                               6 x abcdef = defabc.
   
   
2. Existe-t-il un nombre de huit chiffres en base dix, disons abcdefgh,
   tel que 6 x abcdefgh = efghabcd ?

Soit a₀ = 2009 et pour tout entier non-négatif n. Demontrer que lorsque 0 ≤ n ≤ 1005, 2009 – n est le plus grand entier plus petit ou égal à an.

Un point est situé dans un triangle équilatéral, de telle sorte que les distances du point aux trois sommets du triangle sont de 5, 12 et 13 unités respectivement. Quelle est l'aire du triangle équilatéral?

Pour quels entiers k ≥ 3 la valeur est-elle une puissance de premier, c'est à dire un nombre de la forme pⁿ où p est premier?

Trouvez la plus longue suite possible d'entiers où la somme de sept termes consécutifs est toujours positive, et la somme de onze termes consécutifs est toujours négative. 

Dans le film Gunsmoke: The Last Apache, on trouve une variante intéressante de la roulette russe: On pose six verres de whisky sur le bar, mais un d'entre eux contient une dose mortelle de strychnine. Tour à tour le héros et le vaurien vident les verres. Le héros commence, et bien sûr il gagne. Au vaurien qui agonise, il dit: "Ha, tu aurais du commencer, le premier joueur a de meilleures chances!"

Notre question du mois: Que pensez-vous des aptitudes mathématiques du scénariste? Plus généralement, dans un duel avec n verres dont un seul contient un poison, que deux participants vident tour à tour jusqu'à ce qu'un d'entre eux s'empoisonne, quelle est la probabilité que ce soit le premier qui perde?