Solution au problème de février 2009

Le problème:
	Trouver un nombre de six chiffres qui est augmenté par un facteur de 6 si on interchange ses premier et dernier blocs de trois chiffres. C'est-à-dire que si le nombre s'écrit abcdef en base dix, alors                                             6 x abcdef = defabc. Existe-t-il un nombre de huit chiffres en base dix, disons abcdefgh, tel que 6 x abcdefgh = efghabcd ? .

La solution:

Nous avons reçu des solutions correctes de

En plus, nous avons reçu la solution par ordinateur de James Hovious, et trois correspondants ont soumis des solutions incomplètes.

Solution.

Nous reproduisons ici la solution de Baptiste Gorin:

"Dans la suite, on notera abcdef  le nombre 10⁵a + 10⁴b + 10³c + 10²d +10e + f
(de même pour abcdefgh).

1. Montrons qu'il existe un nombre abcdef  tel que 6abcdef = defabc.
   Notons tout d'abord que, nécessairement, a = 1, sinon l'écriture décimale de 6abcdef comporterait 7 chiffres.
   Soient x = abc = 100a + 10b + c et y = def = 100d + 10e + f .
   La condition 6abcdef = defabc s'écrit
   

   6(1000x + y) = 1000y + x
   

   soit 5999x = 994y, ou encore 857x = 142y.
   Comme 857 et 142 sont premiers entre eux, on en déduit que 142 divise x et 857 divise y.
   la remarque préliminaire assure que x = 142 et y = 857.
   On vérifie alors que 6 ×142857 = 857142.
   
   

2. Montrons qu'il n'existe aucun nombre abcdefgh tel que 6abcdefgh = efghabcd.
   Notons tout d'abord que si un tel nombre existe, nécessairement, a = 1, sinon l'écriture décimale de 6abcdefgh comporterait 9 chiffres.
   Soient
   x = abcd = 1000a + 100b + 10c + d et y = efgh = 1000e + 100f + 10g + h.
   La condition 6abcdefgh = efghabcd s'écrit
   

   6(10000x + y) = 10000y + x
   

   soit 59999x = 9994y.
   Comme 59999 et 9994 sont premiers entre eux, on en déduit que 142 divise x et 857 divise y.
   La remarque préliminaire assure que ce n'est pas possible.
   

Baptiste Gorin
Ile de la Réunion (France).''

Commentaires. Merci à Normand Laliberté pour nous avoir référé au site www.math.wustl.edu/primes.html qui donne la factorisation des nombres en nombres premiers. Par exemple 5999 = 7×857 et 994 = 2×7×71; en enlevant le facteur 7 commun, on obtient la simplification de Gorin: 5999x = 994y, se réduit à 857x = 142y, où les coefficients sont premiers entre eux. Par contre, 59999 est premier, donc les coefficients de l'équation 59999x = 9994y sont premiers entre eux. On peut également faire les calculs à la main en utilisant l'algorithme d'Euclide tel qu'expliqué au site bibmath.

Notre page anglaise parle en détail des nombreuses sources et généralisations du problème.