|
Solution au problème de septembre 2009
| Le problème: |
 |
MP88 septembre 2009
Soit f, une fonction telle que
(i) f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)], et
(ii) f(1) = 1.
Déterminer f(22/7).
|
Nous avons reçu des solutions correctes de
|
|
Berkay Anahtarci (Turquie)
|
Jinzhong Li (Chine)
|
|
|
Claudio Baiocchi (Italie)
|
Matthew Lim (États Unis)
|
|
Bojan Basic (Serbie)
|
Jeff Lindstrom (Ontario)
|
|
Lou Cairoli (États Unis)
|
Patrick LoPresti (États Unis)
|
|
Bernard Carpentier (France)
|
Jigang Luo (Regina)
|
|
Bernard Collignon (France)
|
Roopesh Mangal (Inde)
|
|
Olivier Cyr (France)
|
Normand Laliberté (Ontario)
|
|
Allen Druze (États Unis)
|
Milan Pavic (Serbie)
|
|
Federico Felizzi (Italie)
|
Anonyme
|
|
Philippe Fondanaiche (France)
|
Mark Pilloff (États-Unis)
|
|
Bruce Gilligan (Regina)
|
Aditya Prasad
|
|
Corel Gruian (Roumanie)
|
John T. Robinson (États-Unis)
|
|
Omran Kouba (Syrie)
|
Nutheti Shivdeep
|
|
Gustavo Krimker (Regina)
|
Albert Stadler (Suisse)
|
|
Karim Laaouini (Maroc)
|
A. Teitelman (Israël)
|
|
José Antonio Nunes Borges (Portugal)
|
|
|
|
La solution:
Nous reproduisons d'abord la solution directe de Karim
Laaouini:
"on sait que f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]
*on prends x=0 et y=0
on trouve 2f(0)=4f(0)
donc f(0)=0
*on prends x=0 on trouve f(y)+f(-y)=2f(y)
donc f(-y)=f(y). d´ou la fonction f est paire.
*on prends x=y
on trouve f(2x)=4f(x) et f(4x)=16f(x)
*on prends y=2x on trouve f(3x)+f(-x)=10f(x)
donc f(3x)=9f(x)
*on utilisant l´egalite principale pour 4x et 3x on trouve
f(7x)+f(x)=2[16f(x)+9f(x)]=50f(x)
donc f(7x)=49f(x)
on remplacant x par 1/7 dans cette derniers egalite on trouve
f(1)=49f(1/7)=1
donc f(1/7)=1/49
*on utilisant l´egalite principale pour 7x et 4x on trouve
f(11x)+f(3x)=2[49f(x)+16f(x)]=130f(x)
donc f(11x)=121f(x) et f(22x)=f(2*11x)=4f(11x)=4*121f(x)=484f(x)
on remplacant x par 1/7 dans l´egalite f(22x)=484f(x) on trouve
f(22/7)=484f(1/7)=484*1/49=484/49"
Plus généralement, nos correspondants ont noté que pour tout r rationnel et x réel, on a
f(rx) = r2f(x).
Voici la démonstration
de Baiocchi:
"On va d’abord
supposer r entier positif ; on veut donc montrer que, pour tout
x réel, on a :
f(nx)2 = n2f(x)
(n = 0, 1, 2, . . .)
Choisissant dans (i) y = 0
on déduit f(0) = 0; la formule (2) est donc trivialement
satisfaite pour n = 0 et n = 1. Par récurrence, soit k
tel que (2) est satisfaite pour n ≤ k ; de (i) on déduit
f(kx + x) + f(kx − x)
= 2[f(kx) + f(x)] ;
de l’hypothèse
de récurrence avec n = k et n = k − 1, on tire
f[(k + 1)x] = f(x)[2k2
+ 2 − (k − 1)2] = (k + 1)2f(x)
.
La formule (2) avec n > 0
et x = y/n donne :
f(y) = n2f(y/n)
(n = 1, 2, . . .)
donc f(y/m) = (1/m)2f(y)
ce qui, joint à (2), prouve le théorème.''
Par
conséquent, toute fonction qui satisfait à (i) et
(ii) doit satisfaire f(x) = x2 pour tout rationnel x.
En particulier, f(x) = x2 pour tout réel x est
la seule fonction continue satisfaisant (i) et (ii).
Carpentier propose une solution alternative montrant que f(x) =
x2 est la seule solution possible si on postule que f
a une dérivée seconde continue:
"f(x+y)
+ f(x-y) = 2 [ f(x) + f(y)]
se spécialise
pour x = 1 et y = 0 en :
f(1) + f(1) = 2 [ f(1) + f(0)]
d'où f(0) = 0
pour x = y en :
f(2x) + f(0) = 4 f(x)
Donc f(2x) = 4 f(x)
Ceci donne en dérivant par
rapport à x :
2 f ' (2x) = 4 f ' (x)
d'où pour x = 0 , 2f ' (0)
= 4f ' (0) , donc f '(0) = 0
En redérivant par rapport à
x :
4 f '' (2x) = 4 f '' (x)
la fonction f '' vérifiant pour tout x , f '' (2x) = f '' (x) est constante
Donc f '' (x) = K
Donc f ' (x) = Kx + C , mais comme
f ' (0) = 0 , C = 0
Donc f ' (x) = Kx
Alors f (x) = 1/2 Kx² + C ,
mais comme f(0) = 0 , C = 0
Donc f (x) = 1/2 Kx² , mais
comme f(1) = 1 , K = 2
Finalement f (x) = x² ''
Par contre, les conditions (i) et (ii) ne déterminent pas la valeur de f(x) lorsque x est irrationnel. Il existe des solutions non continues, mais pour les construire il faut utiliser les bases de Hamel, (voir
http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./h/hamel.html) et l'axiome de choix. En un sens, la solution f(x) = x2 est la seule ``raisonnable''.
La condition f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)] est un exemple d'équation fonctionnelle, dont l'étude systématique fut entreprise par Cauchy dans son traité Cours d'analyse de l'École Polytechnique, publié en 1821. Plus de détails sont disponibles sur notre page anglaise, et dans l'article wikipedia
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_fonctionnelle
|
