.
. centre de ressources dilemmes et doutes le visage humain de mathématiques Qui sommes-nous Problème de mois activités de promotion babillard
Centrale des maths - centraledesmaths.uregina.ca
Problème du mois
Problème
du mois
  Problèmes récents
et solutions
Anciens problèmes
2005/2006 06/07 07/08 08/09 09/10 10/11 11/12

Solution au problème d'avril 2010

Le problème:
.

MP95
Problème d'avril 2010

Que peut-on dire au sujet des angles d'un triangle dont la somme des cubes des côtés divisé par son périmètre donne l'aire du carré sur un de ses côtés?

triangle

Notre problème provient d'une liste de problèmes suggérés par Murray Klamkin pour l'Olympiade Mathématique Canadienne de 1983.  Nous avons reçu des solutions correctes de

Bahman Ahmadi
(Regina)

Sébastien Dumortier
(France)

Farid Alberto Lian Martínez
(Colombie)

Halima Bashier
(Regina)

Amit Elazari

Remo Mantovanelli
(Italie)

Bojan Basic
(Serbie)

Mei-Hui Fang
(Autriche)

Milan Pavic
(Serbie)

Luigi Bernardini
(Italie)

Constantin Fishkin
(Ontario)

Arnaud Piquerez
(France)

José Borges
(Portugal)

Philippe Fondanaiche
(France)

John T. Robinson
(États Unis)

Bernard Carpentier
(France)

Bruce Golfman
(Autriche)

Albert Stadler
(Suisse)

Bernard Collignon
(France)

Cornel Gruian
(Roumanie)

A. Teitelman
(Israël)

Andrew Cooke
(Chine)

Benoît Humbert
(France)

Jan van Delden
(Pays-Bas)

Shai Covo
(Israël)

Magnus Jakobsson
(Suède)

Ray Van Raamsdonk
(Colombie Britannique)

Dan Dima
(Roumanie)

Wolfgang Kais
(Allemagne)

Benjamin Louradour
(France)

Allen Druze
(États Unis)

Normand LaLiberté
(Ontario)

japanese KURIHARA Tomohiro
(Japon)

La solution:

Nous allons démontrer que lorsque ΔABC est étiquetté de telle sorte que l'angle à A est opposé au côté dont on prend le carré, alors ∠A = 60°.  Les mesures des deux autres angles peuvent peuvent être n'importe quelle paire de valeurs dont la somme est 120°. 
           À partir du quotient donné, on obtient

quotient

Puisque b3 + c3 = (b2 - bc + c2)(b + c) et b + c > 0 (les longueurs de côtés d'un triangle étant positives par définition), la dernière équation se simplifie ainsi

b2 - bc + c2 = a2.

Selon la loi du cosinus, a2 = b2 + c2 - 2bc cos A. En comparant les deux two expressions pour a2, on obtient bc = –2bc cos A, soit

cos A = 1/2.

Puisque les mesures des angles d'un triangle sont entre 0° et 180°, on a bien ∠A = 60°, qu'il fallait démontrer.  Réciproquement, puisque toutes les étapes sont récersibles, si ∠A = 60°, alors coloured triangle.

triangle

Le triangle A'BC dans la figure ci-haut est équilateral.  En cliquant sur la figure vous ferez apparaître un applet où le sommet A peut être déplacé sur l'arc de cercle entre  B et C. Vous pouves alors générer tous les triangles avec la propriété en question, qui ont a = BC comme côté. La valeur de l'angle à A est toujours 60° (Proposition 20 du troisième livre d'Euclide) bien que les angles à B et C varient.  De même, les longueurs des côtés b et c sont variable, mais selon la loi du cosinus, b2 + c2 - 2bc cos A et quotient sont constants,  égaux à a2.


 

 


Centrale des maths reçoit une aide financière de l’Université de Regina et de The Pacific Institute for the Mathematical Sciences.

CMS
.

 

accueil centre de ressources accueil Société mathématique du Canada l'Université de Regina PIMS