MP42: mai 2004

Les entiers positifs n et d sont choisis tels que

(a) n est un multiple de d(b) n² + d²  est un multiple de nd + 1

Quelles sont les valeurs possibles de n et d?

 Nous remercions Andy Liu de l'Université de l'Alberta pour ce problème du mois.

Solution au problème de mai 2004

MP41: avril 2004

Déterminez les entiers positifs n pour lesquels n⁴ + 4ⁿ est un nombre
premier.

Solution au problème de avril 2004

MP40: mars 2004

Si les mathématiciens s'occupaient de signalisation routière, chaque feu de circulation serait controlé par un panneau comportant trois boutons à trois positions. Chaque bouton aurait ses positions numerotées 0, 1, 2, et le feu de circulation obéirait aux règles suivantes:

1. La couleur (rouge, jaune ou vert) du feu allumé dépend seulement de la position des trois boutons.
   
2. Lorsqu'on tourne les trois boutons en même temps, la couleur du feu allumé change nécessairement.

Supposons que vous vous trouvez devant un tel panneau. Initialement, les trois boutons sont en position 0 et le feu est au rouge.

Vous tournez le premier bouton en position 1 et le feu vire au jaune.

Qu'arrive t'il maintenant si vous tournez le deuxième bouton en position 2?

En fait, pouvez vous dire à quelle couleur du feu correspond chaque position des boutons?

Solution au problème de mars 2004

MP39: février 2004

Notre problème de février comporte deux parties:

1. Pour tout nombre n pair, montrez comment diviser un carré en n triangles d'aires égales.
   
2. Démontrez qu'il est impossible de diviser un carré en 3 triangles d'aires égales

Solution au problème de février 2004

MP38: janvier 2004

Voici un autre problème de dés pour les vacances. Avec une paire de dés ordinaires, on peut rouler des sommes de 2 à 12 avec les répartitions suivantes:

Ainsi, la somme 2 est obtenue d'une seule façon (1+1), la somme 3 de deux façons (1+2 et 2+1) et ainsi de suite. Notre problème du mois vous demande de confectionner une paire de dés qui ne sont pas des dés ordinaires (c'est à dire comportant les nombres de 1 à 6), mais qui ont la même répartition de sommes qu'une paire de dés ordinaires.

Solution au problème de janvier 2004

MP36: Décembre 2003

Dans les magasins on trouve des calendriers perpétuels formés d'une paire de cubes dont les faces montrent chacune un numéro de 0 à 8. Les chiffres sont placés de telle sorte qu'il soit possible de représenter les 31 jours que peuvent avoir un mois: Le premier cube a les chiffres 0 à 5 sur ses faces, et l'autre les chiffres 0, 1, 2, 6, 7, 8.

On inverse le 6 pour les dates comportant un 9, et la présence des chiffres 0, 1 et 2 sur les deux dés permet d'écrire les nombres 11, 22 ainsi que les dates à un chiffre. Nous comptons en base dix parce que nous avons dix doigts. Notre problème du mois demande de concevoir de tels cubes pour faire des calendriers perpétuels dans des bases plus petites que dix. En particulier:

1. Peut-on placer des nombres en base 2 sur chacune des douze faces de façon à pouvoir représenter les 31 dates possibles en base 2? De préférence on aimerait utiliser le moins de faces possibles pour placer des messages publicitaires sur les faces restante.

2. Peut-on aussi utiliser la base 9?

On trouve la liste des nombres 1 à 30 en base 2 au site

http://mathworld.wolfram.com/Binary.html

et quelques indications sur les conversions entre bases diverses au site

/QQ/database/QQ.09.02/christian1.html

Solution au problème de décembre 2003

MP35: Novembre 2003

La ville a quatre préposées au stationnement. Elles travaillent le matin et l'après-midi avec un même enthousiasme et une même efficacité. Les routes du matin ont des durées de x₁ > x₂ > x₃ >  x₄ heures et les routes de l'après-midi ont des durées de y₁ > y₂ > y₃ > y₄ heures. Toute préposée qui travaille plus de H heures doit se faire payer le surplus en heures supplémentaires.Par une coïncidence remarquable, elles se rencontrent toutes pour bouffer au restaurant du coin, où les quatre marmitons font façe à une situation similaire: Pour venir au travail ils doivent stationner leurs scooters dans la rue, où les parcomètres imposent une durée maximale de H heures. Leurs journées consistent en corvées de cuisine le matin, de durées x₁ > x₂ > x₃ > x₄ heures et corvées de nettoyage l'après-midi de durées y₁ > y₂ > y₃ > y₄ heures. Le restaurant paie les amendes des marmitons dont la journée de travail dépasse H heures.Démontrez que pour minimiser le temps payé en heures supplémentaires, la ville peut répartir les routes du matin et de l'après-midi en combinant les durées x₁ et y₄, x₂ et y₃, x₃ et y₄, puis x₄ et y₁. Est-ce que cette solution minimise aussi nécessairement le nombre d'amendes à payer par le restaurant?

Solution au problème de novembre 2003

MP35: Octobre 2003

Les quatres points A, B, C, D sont situés dans l'espace de telle sorte que toute sphère ayant A et B sur sa surface intersecte toute sphère ayant C et D sur sa surface. Que peut-on dire de plus au sujet de ces quatre points?

Solution au problème d'octobre 2003

MP34: Septembre 2003

Quatre joueurs sont assis sur des chaises disposées en cercle et numérotées 1 à 4 dans le sens des aiguilles d'une montre. Chaque joueur a deux chapeaux, un blanc et un noir, et en porte un en tenant l'autre dans ses mains. Au centre se tient un meneur de jeu aux yeux bandés. Celui-ci indique quelques numéros de chaises et les joueurs assis sur ces chaises changent de chapeau. Le jeu s'arrête si les quatres joueurs portent maintenant un chapeau de la même couleur. Autrement les joueurs se lêvent et tournent en rond un certain temps autour des chaises (en maintenant le même ordre cyclique) avant de se rasseoir, et le même procédé recommence.Quelle stratégie permet de faire porter aux quatres joueurs la même couleur de chapeau le plus rapidement possible?

Solution au problème de septembre 2003