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Solution au problème de septembre 2011

Le problème:
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Trouver les entiers positifs $m$ et $n$ pour lesquels les racines des équations
$$x^2 - mx + (n+1) = 0 \quad \mbox{ et } \quad x^2 - (n+1)x + m = 0$$
sont des entiers positifs qui, avec $m$ and $n$ constituent une progression arithmétique dont la somme est $21$ .

La réponse:

Le problème de septembre est tiré d'une collection d'exercices pour olympiades mathématiques compilée par Ed Barbeau en 1994. Nous avons reçu les solutions correctes de

Jose Arraiz (Brésil)

Diana Andrei (Suède)

Quentin Baudenon (France)

Luigi Bernardini (Italie)

Lou Cairoli (États Unis)

Bernard Collignon (France)

Ignacio Somma Esteves (Uruguay)

Mei-Hui Fang (Autriche)

Philippe Fondanaiche (France)

Jan Fricke (Allemagne)

Wilfrid Gao (États Unis)

Gruian Cornel (Roumanie)

Benoît Humbert (France)

Tom Holens (Manitoba)

Ile Ilijevski (Macédoine)

Kipp Johnson (États Unis)

Omran Kouba (Syrie)

Normand Laliberté (Ontario)

Lethe Li (États Unis)

Roopesh Mangal (Malaisie)

Remo Mantovanelli (Italie)

Omran Kouba (Syrie)

Alex Love (Ontario)

Christian Pont (France)

Nawal Kishor Mishra (Inde)

Mathias Schenker (Suisse)

Albert Stadler (Suisse)

Hakan Summakoğlu (Turquie)

A. Teitelman (Israël)

Vijaya Prasad Nalluri (Inde)

Paul Voyer (France)

Matthew Lim (États Unis)

La solution:

La solution la plus courte est celle de Voyer:

"Les 4 racines sont toutes positives elles aussi (les sommes et produits sont positifs).Il faut donc trouver 6 nombres positifs de somme 21 en progression arithmétique. La seule possibilité est 1, 2, 3, 4, 5 et 6.

  1. 5 n'est pas $m$, car il serait aussi racine.

  2. Donc 5 est racine et vaut $n+1$.

  3. Alors n=4 et l'équation $x^2-mx+5=0$ associe 1 à 5 ; m=6.

  4. Il reste $x^2-5x+6=0$ qui a pour racines 2 et 3.''

Le point 2 est le seul qui est difficile à justifier: Ne pourrait-on pas avoir $5=n$? Plusieurs de nos correspondants on résolu cette difficulté en déterminant $m+n$ avec un argument similaire à celui d'Arraiz:

"Soient $x_1, x_2$ les racines de la première équation, $x_3$ et $x_4$ celles de la seconde on aura :

$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +m + n = 21$$

d’autre part :

$x_1 + x_2 = m$ et $x_3 + x_4 = n+1$ (somme des racines d’une équation)

après remplacement et réduction il reste $m + n = 10$.''

Ainsi, on ne peut avoir $n=5$, parce qu'alors on aurait aussi $m=5$.

Notons qu'il n'est pas spécifié que $m$ et $n$ sont distincts. Cependant, si $m = n = 5$, alors toute progression arithmétique les contenant doit avoir tous ses termes égaux à $5$, donc sa somme ne peut valoir 21.

La solution de Baudenon résout le cas où une racine répétée est interprétée comme un seul terme de la progression arithmétique:

"[...] S’il y a 3 racines, c’est qu’il y a 5 termes dans la suite et s’il y a 2 racines, c’est qu’il y a 4 termes dans la suite. Je réutilise cette formule :

S= $\frac{\mbox{(nombre de termes)} \times \mbox{(1er + dernier terme}}{2}$

Cas où le nombre de racines est de 3 : 1er + dernier terme = $\frac{42}{5}$

Cas où le nombre de racines est de 2 : 1er + dernier terme = $\frac{42}{4}$

Ces deux résultats sont impossibles car les termes doivent être des entiers.''


Finalement, si une seule racine $r$ est racine double des deux polynômes, alors $m = n+1 = 2r = r^2$, donc $r=2$, $n=3$ et $m=4$. C'est bien une progression arithmétique, mais sa somme est $9$.


 

 

 


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