Solution au problème de janvier 2012

Le problème:
	Le polynôme à coefficient réels $p(x)$ a degré 2011, et pour tout entier $n,\; 0 \le n \le 2011$, on a $$p(n)=\frac{n}{n+1}.$$ Évaluer $p(2012)$.

Solution: $p(2012) = 1.$

Nous avons reçu les solutions correctes de

Voici la solution de Olivier Cyr :

"On définit le polynôme $q$ à coefficients éels par .$q(x) = (x+1)p(x) – x$.

D'abord, $q$ est de degré 2012 puisque $xp(x)$ est de degré 2012 et $p(x) – x$ de degré 2011.

Ensuite, $q$ a 2012 racines réelles qui sont tous les entiers compris entre 0 et 2011 inclusivement. En effet, pour $0 \le n \le 2011$ on a $q(n) = (n+1) p(n) - n = (n+1) \times \frac{n}{n+1} – n = 0$.

Ainsi, $q$ étant de degré 2012, ces 2012 racines réelles sont toutes les racines de $q$ et on peut écrire $$q(x) = a \Pi_{k=0}^{2011} (x-k)$$ avec $a \in \mathbb{R}$.

Pour déterminer la valeur du nombre $a$, on peut évaluer $q$ en $-1$ à l'aide de la définition de $q$: $$q(-1) = (-1+1) \times p(-1) + 1 = 1.$$

De plus on peut calculer $a$: $$a = \frac{q(-1)}{\Pi_{k=0}^{2011}(-1-k)} = \frac{1}{(-1)^{2012}\Pi_{k=0}^{2011}(k+1)} = \frac{1}{2012!}.$$

Finalement, on calcule la valeur de $q(2012)$, $$q(2012 = \frac{1}{2012!} \Pi_{k=0}^{2011}(2012 -k) = \frac{2012!}{2012!} = 1$$ et on peut en déduire celle de $p(2012)$: $$p(2012) = \frac{q(2012) + 2012}{2012 + 1} = \frac{2013}{2013} = 1.$$

En conclusion on a $p(2012) = 1$."

Commentaires.

Plusieurs correspondants ont aussi considéré le cas général d'un polynome $p_{\kappa}$ de degré $\kappa$ tel que $p_{\kappa}(n) = \frac{n}{n+1}$, $0 \le n \le \kappa$. Avec une méthode similaire, on démontre que $p_{\kappa}(\kappa + 1) = 1$ lorsque $\kappa$ est impair, et $p_{\kappa}(\kappa + 1) = \frac{\kappa}{\kappa + 2}$ lorsque $\kappa$ est pair. Cette version était le problème 3 de l'olympiade mathématique des États Unis de 1975. Merci à Codreanu Ioan pour cette information.