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Solution au problème de mai 2008

Le problème:
. Pour quels entiers positifs n peut-on écrire n! comme différence de deux carrés?

La solution:

Nous avons reçu des solutions correctes de

Felix Arnaiz Lanzo (Espagne)

Xavier Hecquet (France)

Jose Arraiz (Brésil)

Jeff Heleen (États-Unis)

Guillaume Baraston (France)
Wolfgang Kais (Allemagne)

Bojan Basic (Serbie)

Michael Kozdron (Regina)

Luigi Bernardini (Italie)
Normand LaLiberté (Ontario)
Gérard Billion (France)
Farid Lian Martínez (Colombie)
Lou Cairoli (États-Unis)
Matthew Lim (États-Unis)
John Campbell (Alberta)
Jean-Luc Luyet (Suisse)
Olivier Cyr (France)
Jacques Mertzeisen (France)
Dan Dima (Roumanie)
Minghua Lin (Chine)
Sébastien Dumortier (France)
Giovanni Parzanese (Italie)
Eiden, Jean-Denis (France)
John T. Robinson (États-Unis)
Philippe Fondanaiche (France)
K. Sengupta (Inde)
Cyndy Franz (Internet) A. Teitelman (Israël)


Nous sommes très heureux d'avoir un premier correspondant francophone du Brésil. Nous reproduisons ici la solution de Jose Arraiz.

"Il s’agit de trouver des solutions entières à l’équation: a2 - b2 = n!, cette équation peut s’écrire (a + b) × (a - b)=n!

n! est toujours pair (sauf si n=1) donc (a+b) et (a-b) doivent être pairs tous les deux.

Les diviseurs de n! (2, 3, 4, …n) peuvent toujours se réarranger, de plusieurs manières, pour que leur produit forme deux nombres X et Y tels que X × Y = n!, si n ≥ 4 ce regroupement peut toujours se faire de façon à ce que X et Y soient tous deux pairs, pour résoudre le problème il suffit donc de résoudre le système:

a + b = X

et

a - b = Y

d’où a et b et les solutions de a2 - b2 = n!

n! peut donc se représenter comme la difference de deux carrés, et ceci de plusieurs façons, pour tout n ≥ 4.''

Commentaires La solution d'Arraiz montre en fait que le nombre de solutions entières à l’équation: a2 - b2 = n! croît rapidement avec n. Plusieurs correspondants se sont contentés d'indiquer la solution "canonique'', comme Luyet dans sa carte postale.

postcard front

postcard back



 

 


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