MP32: Avril 2003

Voici une liste d'affirmations, numérotées de 1 à 10, permettant de trouver un nombre naturel inconnu n. Malheureusement, ces affirmations ne sont pas nécessairement vraies et, pour corser les choses, on ne dit pas lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses.

1. Au moins une des deux dernières affirmations de cette liste est vraie.
2. Ceci est soit la première affirmation vraie, soit la première affirmation fausse de cette liste.
3. Cette liste comprend au moins trois affirmations fausses consécutives.
4. La différence entre le numéro de la dernière affirmation vraie et le numéro de la première affirmation vraie est un diviseur de n.
5. La somme des numéros des affirmations vraies est égale à n.
6. Ceci n'est pas la dernière affirmation vraie.
7. Le numéro de chacune des affirmations vraies est un diviseur de n.
8. Cette liste comprend exactement n% d'affirmations vraies.
9. Le nombre de diviseurs de n (les diviseurs triviaux 1 et n étant exclus) est strictement supérieur à la somme des numéros des affirmations vraies.
10. Cette liste ne comprend pas trois affirmations vraies consécutives.

Notre problème du mois: Que vaut n?

Solution au problème de avril 2003

MP31: Mars 2003

A l'Université Paire de Regina, on considère qu'il est très important de faire
partie de plusieurs comités. L'association de la faculté a établi les règles suivantes:

1. chaque comité doit avoir un nombre PAIR de membres,
2. chaque paire de comités a un nombre PAIR de membres en commun,
3. aucune paire de comités n'a exactement les mêmes membres.
   

De l'autre côté de la ville se trouve l'Université Impaire de Regina, rivale de la première, qui accorde aussi beaucoup d'importance aux comités. Ses règles sont un peu différentes:

1. chaque comité doit avoir un nombre IMPAIR de membres,
2. chaque paire de comités a un nombre PAIR de membres en commun.
   

Notre problème du mois:
La faculté de l'Université Paire compte seulement 20 membres, alors que celle l'Université Impaire en compte 1000. Cette dernière essaie de former autant de comités que possible en respectant ses règles énoncées ci-haut. Pourtant, elle se retrouve avec moins de comités que l'Université Paire. Comment est-ce possible?

Solution au problème de mars 2003

MP30: Février 2003

On a 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 6 = 1 + 2 + 3, 7 = 3 + 4, mais ni 4 ni 8
ne peuvent s'écrire comme somme d'au moins deux entiers consécutifs. Votre mission est de démontrer que ce motif se poursuit à l'infini:

1. Démontrez qu'aucune puissance de 2 ne peut s'écrire comme somme
   d'au moins deux entiers consécutifs.
   
2. Démontrez que tout entier qui n'est pas une puissance de 2 peut
   s'écrire comme somme d'au moins deux entiers consécutif

Solution au problème de février 2003

MP29: Janvier 2003

Pour le temps des fêtes, nous proposons un problème à résoudre en famille. Il suffit d'avoir chez soi un oncle Albert (ou une tante Ursule) et une grille de dimensions 2ⁿ par 2ⁿ. Par exemple, un échiquier ordinaire est une grille 8 par 8. Les pièces du jeu sont des ``trominos en L'', c'est est à dire des pièces formées à partir de dominos en ajoutant un troisième carré pour faire un L:

Maintenant, l'oncle Albert place un sou sur une des cases de la grille

.

Votre tâche est de recouvrir les 2²ⁿ - 1 cases qui restent avec (2²ⁿ - 1)/3 trominos. Est-ce toujours possible?

Solution au problème de janvier 2003

MP28: Décembre 2002

Complétez la phrase suivante en écrivant sur chaque ligne un nombre décimal de un ou plusieurs chiffres.

Dans cette phrase, le nombre de 0 est ___, de 1 est ___, de 2 est ___, de 3 est ___, de 4 est ___, de 5 est ___, de 6 est ___, de 7 est ___, de 8 est ___, et de 9 est ___.

Cette phrase a été conçue par Raphael Robinson, qui a démontré qu'il existe exactement deux façons correctes de la compléter.

Solution au problème de décembre 2002

MP27: Novembre 2002

La suite S de Kolakoski: 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, ... est un exemple de suite "qui se lit elle-même". Elle est constituée de chaînes de 1 et de chaînes de 2 en alternance, et la longueur de la prochaine chaîne est toujours le prochain nombre de la suite:

Le premier terme est 1, donc la première chaîne a longueur 1. La chaîne suivante est constituée de 2, et sa longueur est le deuxième terme, soit 2. Ainsi les trois premiers termes sont 1, 2, 2. Donc la troisième chaîne, constituée de 1, a aussi longueur 2: Les cinq premier termes sont 1, 2, 2, 1, 1. On a donc ensuite deux chaînes de longueur 1, et la suite devient 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1. Et ainsi de suite.

Problème de novembre:
Démontrez que 0.122112122122112... est irrationnel. (Rappel: Un nombre est irrationnel lorsque son développement décimal est non-périodique.)

Solution au problème de novembre 2002

MP26: Octobre 2002

(a) Soit une collection de points dans le plan telle que

1. La distance entre n'importe quels deux points est un nombre entier
   
2. une infinité de ces points sont colinéaires.

Démontrez qu'alors TOUS les points sont colinéaires.

(b) Qu'arrive-t-il si on demande seulement que 5 points soient colinéaires?

Solution au problème d'Octobre 2002

MP25: Septembre 2002

Dans un groupe de sept personnes, chaque personne parle au plus deux langues. De plus, dès que trois d'entre eux se retrouvent ensemble, il y en a au moins deux des trois qui peuvent communiquer (parce qu'ils parlent une langue commune). Démontrez qu'il existe une langue qui est parlée par au moins trois de ces sept personnes.