MP24: août 2002

Un problème du concours danois "Georg Mohr Konkurrencen I Matematik 1996" a été généralisé par Pierre Bornsztein [CRUX MATHEMATICORUM 2001, page 240]. Il démontre que si p est une permutation de l'ensemble {1, 2, ..., n} où n est congru à 2 ou 3 modulo 4, alors les nombres |k - p(k)| ne peuvent pas tous être différents. Ce mois-ci, on demande ce qui arrive lorsque n = 20:

Existe-t-il une permutation p de {1, 2, ..., 20} telle que |k - p(k)| prend toutes les valeurs de 0 à 19?

Solution au problème d'août 2002

MP23: juillet 2002

Considérons le problème de placer le plus grand triangle équilatéral possible dans un triangle quelquonque T de côtés a, b et c (où a >= b >= c). Notons A, B et C respectivement les angles opposés à a, b et c. Il n'est pas difficile de démontrer que lorsque B mesure au plus 60 degrés, le plus grand triangle équilatéral repose sur le côté de longueur a. Lorsque B > 60, le plus grand triangle équilatéral repose parfois sur le côté de longueur c, dépendant d'une relation entre a, c et B à paraître dans "Equilateral Triangles in Triangles", un article de Richard P. Jerrard et John E. Wetzel dans le journal AMERICAN MATHEMATICAL MONTHLY.

Notre problème:
Quel est le seul triangle non-équilatéral tel que les trois plus grands triangles équilatéraux reposant respectivement sur les trois côtés sont égaux?

Solution au problème de juillet 2002

MP22: juin 2002

Des sept nains prennent leur petit déjeuner, et Blanche Neige leur a versé du lait. Avant de boire, les nains se livrent au rituel suivant: Le premier nain verse un sixième de son lait dans le verre de chacun de ses frères (ce qui le laisse avec rien du tout). Puis le deuxième nain fait la même chose, et ainsi de suite. Ce processus se poursuit autour de la table, jusqu'à ce que le septième nain aie distribué son lait de la même façon (il s'agit de Simplet). A la fin, chaque nain a dans son verre exactement la même quantité de lait qu'il avait au départ. Si Blanche Neige leur avait versé 42 onces de lait en tout, quelle quantité de lait chaque nain a-t-il reçu? Le problème a-t-il une seule solution, ou existe-t-il plusieurs solutions? Ce problème est tiré du test d'application au camp mathématique Etats-Unis-Canada 2002.

Solution au problème de juin 2002

MP21: mai 2002

Ce problème est tiré de la cinquième compétition annuelle par équipes organisée par la section centrale nord de la Math Association of America, qui a eu lieu le 10 novembre 2001. La partie fractionnaire F(r) d'un nombre r est définie comme suit:

Par exemple,

Notre problème pour le mois de Mai:

Solution au problème de mai 2002

MP20: avril 2002

Pour célébrer l'arrivée du printemps, notre problème du mois rend hommage à la cuisine canadienne.

1. Dans un grand bol, mélangez ensemble un oeuf, une tasse de lait, une tasse de farine une cuillerée à thé de poudre à pâte. Vous obtenez de la pâte à crêpes
   
   Versez une grosse cuillerée de pâte dans une poêle et faites cuire des deux côtés environ 17 minutes. Vous obtenez une crêpe brulée.
   
   Placez votre crêpe brulée sur une feuille de papier, et tracez en le contour avec un crayon. Vous obtenez une courbe simple fermée.
   
   
2. Démontrez que votre courbe simple fermée contient les trois sommets d'un triangle équilatéral

L'étape 4 demande un peu de réflexion. En même temps, vous pouvez préparer le reste des crêpes et les manger avec une bonne portion de sirop d'érable.

Solution au problème d'avril 2002

MP19: mars 2002

Notre ennemi choisit 2000 des nombres de 1 à 3000. Votre mission est de trouver 1000 nombres parmi ceux-là tels que leur parité alterne (pair, impair, pair, impair, ... ou l'inverse) lorsqu'on les classe du plus petit au plus grand. Démontrez que vous pouvez toujours réussir, aussi futé que soit votre ennemi.

Solution au problème de mars 2002

MP18: février 2002

Un tétraèdre régulier est une pyramide dont les faces sont quatre triangles équilatéraux, dont chaque paire a un côté commun. Par conséquent, les six côtés ont la même longueur. Imaginons que sur chaque face du tétraèdre, une voiture se promène dans le sens des aiguilles d'une montre à vitesse constante sur les côtés bordant cette face. Chacune des quatre voitures a sa propre vitesse, et peut partir de n'importe quel point de son parcours. Peut-on choisir ces paramêtres de sorte qu'aucune collision ne se produise, ou est-il inévitable qu'une collision se produise à un moment donné?

Solution au problème de février 2002

MP17: janvier 2002

Pour tout nombre réel r, soit T_r, l'auto-application du plan définie par

Trouvez l'équation de la courbe continue y = f(x) qui contient l'image du point (2002,2002) par toutes les applications T_r.

Solution au problème de janvier 2002

MP16: décembre 2001

Il existe un seul entier n pour lequel l'expression

est un nombre entier. Déterminez cette valeur n et démontrez qu'il n'en existe pas d'autres.

Solution au problème de décembre 2001

MP15: novembre 2001

Les dés d'Efron sont disposés devant vous:

Le jeu se joue à deux personnes. La première choisit un des quatre dés, et son adversaire en choisit un parmi les trois qui restent. Puis les joueurs jettent leurs dés, et celui qui obtient le plus grand nombre gagne. Courtoisement, votre adversaire vous invite à choisir en premier. Que devriez-vous faire? Veuillez noter que dans la solution d'un problème mathématique, l'explication est la chose la plus importante – toute assertion doit être soutenue par une vérité mathématique.

Solution au problème de novembre 2001

MP14: Octobre 2001

Il en coûte un dollar pour assister au spectacle du dimanche après-midi au théatre. Or ce dimanche là, le caissier s'aperçoit qu'il n'a pas de monnaie. Huit personnes arrivent au théatre; quatre d'entre elles ont seulement une pièce de deux dollars, et les quatre autres ont seulement une pièce de un dollar. Leur façon de s'aligner à la queue va déterminer si le caissier peut leur remettre la monnaie lorsqu'ils achètent leurs billets. Les huit personnes se mettent à la queue dans un ordre aléatoire, sans savoir qui a une pièce de un dollar et qui a une pièce de deux dollars. Quelle est la probabilité que le caissier puisse remettre la monnaie à chacun? Ce problème est tiré du Concours mathématique des écoles secondaires de Colombie Britannique pour l'année 2001.

Solution au problème d'octobre 2001

MP13: Septembre 2001

Le jour où l'argent pour le café a été volé, six professeurs du département de mathématiques avaient visité le salon où se trouve la caisse. Chacun y est entré seulement une fois, et y est resté pour un certain temps avant de repartir. Lorsque deux d'entre eux se trouvaient en meme temps dans le salon, un des deux a nécessairement remarqué l'autre. (Ils ne se sont pas nécessairement remarqués mutuellement; il arrive que les professeurs de mathématiques soient distraits.) Plus personne ne se souvient de l'heure de sa visite au salon. Le secrétariat a réussi à rassembler les informations suivantes au sujet de ces visites:

Aucune information n'est omise, mais on sait que le coupable en a ajouté un peu: Il a prétendu avoir vu une personne qu'il n'a pas vraiment vu, juste pour l'incriminer. Qui est ce coupable?

Solution au problème de septembre 2001