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MP114
Problème de mai 2012

Une permutation arbitraire $\sigma$ des entiers de 1 à 2012 peut être représentée dans le plan par un ensemble de 2012 points de la forme $(k,\sigma(k))$, $k$ allant de 1 à 2012. Le plus petit carré qui contient tout ces points et a ses côtés parallèles aux axes a au moins 2 et au plus 4 des points de l'ensemble sur sa frontière. Déterminer le nombre de permutations qui ont exactement $m$ points de l'ensemble sur la frontière, pour $m = 2, 3, 4$.

Par exemple, Le graphe de la permutation $(5,3,6,1,7,2,4)$ des entiers de 1 à 7 est
l'ensemble $(1,5), (2,3), \ldots, (7,4)$ représenté dans la figure suivante. Le plus petit carré avec côtés parallèles aux axes qui contient tous ces points a exactement quatre des points sur sa frontière.

Notez que dans la solution de tout problème mathématique, l'explication est très importante. Toute assertion doit être supportée par une vérification mathématique.

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