Solution au problème d'octobre2012

Le problème:

Est-ce qu'il existe une fonction strictement décroissante $f: \mathbf{ R} \rightarrow \mathbf{ R}$ telle que $f \left(f(x)\right) = x+1$ pour tout $x\in \mathbf{ R}$? Est-ce qu'il existe une fonction strictement décroissante $g: \mathbf{ R} \rightarrow \mathbf{ R}$ telle que $g \left(g(x)\right) = 2x+1$ pour tout $x\in \mathbf{ R}$? (Une fonction $f: \mathbf{ R} \rightarrow \mathbf{ R}$ est strictement décroissante si on a $f(a) > f(b)$ dès que $a < b$.)

Nous avons reçu les solutions correctes de

a. Non, aucune telle fonction n'existe.

Voici la démonstration de Bernard Collignon :

"Pour tout réel $x \in \mathbf{ R }$, exprimons $(f \circ f \circ f)(x)$ de deux manières, on a respectivement :

$$(f \circ f \circ f)(x) = (f \circ f) (f(x)) = f (x ) + 1$$

et

$$(f \circ f \circ f)(x) = f ((f \circ f)(x)) = f (x+1).$$

On en déduit que pour tout $x \in \mathbf{ R }$, $f ( x + 1 ) = f ( x ) + 1$.

Ceci est en contradiction avec l’hypothèse de $f$ strictement décroissante puisque l’on a :

$x + 1 > x$ mais $f (x + 1 ) > f (x)$ au lieu de $f (x + 1 ) < f (x)$.''

Benoît Humbert donne une démonstration alternative :

"Comme $x \rightarrow x+1$ est bijective, $f$ doit l’être aussi. Étant donc une bijection décroissante de $\mathbf{ R }$ dans $\mathbf{ R }$, $f$ est continue et admet un point fixe, qui est également point fixe de $f \circ f$, donc de $x \rightarrow x+1$, or cette dernière fonction n’a pas de point fixe. Contradiction !''

b. Oui, une telle fonction existe.

Voici la construction d'Olivier Cyr :

"Recherchons si $g$ peut être une fonction affine et posons $g(x) = mx + p$ avec $m \in \mathbf{ R }$ et $p \in \mathbf{ R }$.

Ainsi, puisque $g (g (x))=m^2 x +mp+ p$, on doit avoir $m^2 x +mp+ p=2x+ 1$.

Cette équation implique $m^2=2$ et $mp+ p=1$.

La solution de la première est $m=-\sqrt{2}$ ( $m<0$, puisque $g$ est strictement décroissante) et la deuxième conduit à $(-\sqrt{2}+1) p=1$ ou $p = \frac{1}{-\sqrt{2}+1}$.

Ainsi, la fonction $g$ définie par $g(x) = -\sqrt{2} x + \frac{1}{-\sqrt{2}+1}$ sur $\mathbf{ R }$ répond aux conditions demandées.''

Humbert donne

$$g(x) = \left \{ \begin{array}{l} -2^a (x+1) – 1 \mbox{ si $x \geq -1$} \\ -2^{1-a} (x+1) – 1 \mbox{ si $x \leq -1$}\end{array} \right.$$

(ou $a \in \mathbf{ R }$) comme exemples de fonctions non-affines répond aux conditions demandées. Desprez construit toutes les fonctions $f$ satisfaisant $f\left(f(x)\right) = ax+b$, lorsque de telles fonctions existent. D'autres commentaires sont disponibles sur notre page anglaise.