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Solution au problème de janvier 2013
| Le problème: |
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Soit cinq segments, dont le plus long ne dépasse pas la somme des longueur des deux plus courts. On peut donc former dix triangles en choisissant n'importe quels des trois segments comme côtés. Démontrer qu'au moins un de ces dix
triangles a trois angles aigus.
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Réponses correctes: |
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Nous avons reçu les solutions correctes de
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Lamis Alsheikh (Syrie)
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Diana Andrei (Suède)
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Aleksandar Blazhevski (Macédoine)
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Lou Cairoli (États Unis)
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Bernard Carpentier (France)
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Bernard Collignon (France)
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Hubert Desprez (France)
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Allen Druze (États Unis)
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Mei-Hui Fang (Autriche)
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Philippe Fondanaiche (France)
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Jan Fricke (Germany)
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Georges Ghosn (Québec)
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Pierre Gobin (France)
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Gruian Cornel (Roumanie)
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Tony Harrison (Angleterre)
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Benoît Humbert (France)
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Codreanu Ioan (Roumanie)
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Gilbert Julia (France)
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Matthew Lim (États Unis)
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Patrick J. LoPresti (États Unis)
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Vincent Pantaloni (France)
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Albert Stadler (Suisse)
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Daniel Văcaru (Roumanie)
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Arthur Vause (Royaume Uni)
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Zhengpeng Wu (Chine)
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La solution:
Voici la solution de Gilbert Julia:
"Supposons les longueurs des segments rangées par ordre croissant : $a, b, c d, e$, et voyons s'il est possible avec ces segments de ne fabriquer que des triangles dont un angle est au moins un angle droit. On sait que le plus grand angle d’un triangle est celui qui est opposé au plus grand côté, c'est donc cet angle qu'il faut considérer.
Le triangle de côtés $a, b, c$ a un angle opposé à $c$ qui est au moins un angle droit : $c^2$ est au moins égal à $a^2 + b^2$.
Parmi tous les triangles dont un côté est $d$, celui qui a le plus petit angle opposé à ce côté est celui de côtés $b, c, d$. Cet angle est au moins un angle droit : $d^2$ est au moins égal à $b^2 + c^2$ donc au moins égal à $2b^2 + a^2$.
Parmi tous les triangles dont un côté est $e$, celui qui a le plus petit angle opposé à ce côté est celui de côtés $c, d, e$. Or : $d^2 + c^2$ est au moins égal à $2b^2 + a^2 + a^2 + b^2$ donc au moins égal à $3b^2 + 2a^2$.
Mais $3b^2 + 2a^2$ est égal à : $(a^2 + b^ +2ab) + (a^2 + b^2 – 2ab) + b^2$ donc est strictement plus grand que $(a^2 + b^2 +2ab)$ c'est-à-dire que $(a + b)^2$. Par hypothèse, $e$ est plus petit que la somme $a + b$. Donc $3b^2 + 2a^2$ est strictement plus grand que $e^2$. $d^2 + c^2$ l'est aussi.
L’angle opposé à $e$ de ce triangle est un angle aigu, à fortiori les deux autres angles le sont. Il n'est donc pas possible de construire dix triangles qui ont tous des angles aigus.''
Commentaires. Notre problème de janvier était le défi no. 6 de Pi in the Sky, numéro 12 (automne 2008); leur solution est parue dans le numéro 13 (automne 2009), page 29. On trouve la version en ligne au
http://media.pims.math.ca/pi_in_sky/pi13.pdf.
Plusieurs correspondants ont remarqué qu'avec quatre segments plutot que cinq, on peut avoir quatre triangles avec un angle obtus. Par exemple, Collignon note :
"Le résultat est faux pour quatre segments, il suffit de prendre par exemple les longueurs respectives suivantes :
$$a = 10 , b = 11 , c = 15 \mbox{ et } d = 19.$$
Les quatre triangles que l’on peut former avec ces quatre segments possèdent tous un angle obtus. ''
Dans le cas où la longueur du plus long segment est la somme des longueurs des deux plus courts, un des triangles est aplati. Collignon et Desprez ont noté que dans ce cas, il est possible qu'un seul des dix triangles ait ses trois angles aigus, par exemple avec les longueurs $1, 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2$.
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