Solution au problème de février 2013

Le problème:
	Trouver toutes les fonctions réelles $f(x)$ telles que $$f\left(x^3+y^3\right) = x^2f(x) + yf(y^2) $$ pour tous réels $x$ et $y$.

Réponses correctes:

Il s'agit du problème 6 de la ronde finale de la 46-ème olympiade mathématique ukrainienne (2006), proposé par T.M. Mitelman. Nous avons reçu les solutions correctes de Lamis Alsheikh (Syrie) Luigi Bernardini (Italie) Aleksandar Blazhevski (Macédoine) Radouan Boukharfane (Québec) Lou Cairoli (États Unis) Ioan Viorel Codreanu (Roumanie) Bernard Collignon (France) Hubert Desprez (France) Mei-Hui Fang (Autriche) Philippe Fondanaiche (France) Jan Fricke (Allemagne) Georges Ghosn (Québec) Pierre Gobin (France) Matthew Lim (États Unis) Patrick J. LoPresti (États Unis) Ángel Plaza Heri Setiyawan (Indonésie) Albert Stadler (Suisse) Hakan Summakoğlu (Turkey) Bruno Tisserand (France) Daniel Văcaru (Roumanie) Arthur Vause (Royaume Uni)

La solution:

voici la solution de Bernard Collignon.

"Ce sont les fonctions linéaires $x \rightarrow ax$ avec $a \in \mathbf{ R}$.

Démonstration :

• Pour $x = y = 0$ on a : $f (0) = 0$ et on pose pour la suite $f(1) = a$.

• Pour $y = 0$, pour tout $x$ réel : $f(x^3) = x^2 f(x)$,

• et pour $x = 0$, pour tout réel $y$ on a : $f(y^3) = y f(y^2)$.

Donc pour tout réel $x$, $f(x^3) = x f(x^2) = x^2 f(x)$ ce qui entraîne pour tout $x$ réel :

(1) $f (x^2) = x f(x).$

Et d’autre part, pour tous réels $x$ et $y$ :

(2) $f(x^3 + y^3) = f(x^3) + f(y^3).$

La fonction $x \rightarrow x^3$ étant une bijection de $\mathbf{ R}$ sur $\mathbf{ R}$, on a en posant $X = x^3$ et $Y = y^3$ :

Pour tous réels $X$ et $Y$,

(3) $f(X + Y) = f (X) + f (Y)$ .

En particulier, pour tout réel $x \in \mathbf{ R}$ :

(4) $f(x + 1) = f(x) + f(1) = f(x) + a$.

(5) $f(2x) = f(x + x ) = 2 f(x)$.

Des égalités (1), (2), (3), (4) et (5) on en déduit que pour tout réel $x$ on a l’égalité :

$f((x + 1)^2) = (x + 1) f(x + 1)$

$f(x^2 + 2x + 1) = (x + 1) (f(x) + f(1))$

$f(x^2) + 2 f (x) + f (1) = (x + 1) f(x) + f(1) (x + 1) $

$x f(x) + 2 f(x) + a = x f(x) + f (x) + a x + a $

$f (x) = a x$. ''

Note : Certains correspondants ont postulé que $f$ était continue pour démontrer qu'elle est linéaire, mais cette hypothèse est superflue. Au sujet de la condition (3), Fondanaiche note "l’écriture $f(u + v) = f(u) + f(v)$ est celle de l’équation fonctionnelle de Cauchy qui a donné lieu à de très nombreuses analyses. Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Equation_fonctionnelle_de_Cauchy. On sait que cette équation admet une solution $\mathbf{ R}$-linéaire mais il existe une infinité de solutions non $\mathbf{ R}$-linéaires. La relation $f(x^3 + y^3) = x^2f(x) + yf(y^2)$ permet de restreindre les solutions possibles à la seule fonction $f(x) = kx$.''