|
Solution au problème de décembre 2012
| Le problème: |
 |
Trouver tous les entiers positifs $n$ tels que $n+184$ et $n-285$ sont des cubes d'entiers.
|
Réponses correctes: |
|
$n = 2013$, nous souhaitons au passage une bonne année
$n$ à tous nos correspondants. Nous avons reçu les
solutions correctes de
Bahman Ahmadi (Regina) |
Lamis Alsheikh (Syrie) |
Diana Andrei (Suède) |
Arkady Arkhangorodsky (Ontario) |
Claudio Baiocchi (Italie) |
Lou Cairoli (États Unis) |
Bernard Carpentier (France) |
Ruben Victor Cohen (Argentine) |
Bernard Collignon (France) |
Hubert Desprez (France) |
Mei-Hui Fang (Autriche) |
Federico Foieri (Argentine) |
Philippe Fondanaiche (France) |
Georges Ghosn (Montréal) |
Kerim Gokarslan (Turquie) |
Tony Harrison (Angleterre) |
Seongwoo Hong (États Unis) |
Codreanu Ioan (Roumanie) |
Alex Jeon (États Unis) |
Kipp Johnson (États Unis) |
Normand LaLiberté (Ontario) |
Matthew Lim (États Unis) |
Patrick J. LoPresti (États Unis) |
Sanjeev Nimishakavi and & Milan Pavić (Serbia) |
Nawal Kishor Mishra (Inde) |
Mathias Schenker (Suisse) |
Armend Sh. Shabani (Kosovo) |
Albert Stadler (Suisse) |
Andreas Stahl (Allemagne) |
Hakan Summakoğlu (Turkey) |
Bruno Tisserand (France) |
Daniel Văcaru (Roumanie) |
Arthur Vause (Angleterre) |
Paul Voyer (France) |
Wu ChengYuan (Singapour) |
|
|
La solution:
Voici la solution de Claudio Baiocchi
"On appelle $a$ la racine cubique de $n+184$; donc $a>0$. Pour un $b>0$ convenable, $a-b$ est la racine cubique de $n-285$; en particulier:
$$469=(n+184)-(n-285)=a^3-(a-b)^3=b(3a^2+3ab+b^2)$$
donc $b$ est un facteur positif de 469. Les seules possibilités sont donc données par le tableau:
|
$b$
|
$3a^2 + 3ab + b^2$
|
$3a^2 + 3ab + b^2 = 469/b$
|
et donc
|
|
1
|
469
|
$3a^2 + 3a = 469 - 1$
|
$a=13$, seule solution positive
|
|
7
|
67
|
$3a^2 + 3 \cdot 7\cdot a = 67 - 49$
|
pas de solutions entières
|
|
67
|
7
|
$3a^2 + 3 \cdot 67\cdot a < 0$
|
pas de solutions positives
|
|
469
|
1
|
$3a^2 + 3 \cdot 469\cdot a < 0$
|
pas de solutions positives
|
Ce qui fournit $n = a^3-184 = 2013$, en accord avec $(a-b)^3=12^3=n-285$.''
Commentaires. Notre problème de décembre est inspiré par la compétition mathématique par correspondance slovaque de 2006/7, première ronde, première série, problème 6,(tel que retranscrit dans Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, 37:8 (Décembre 2011) pages 507-508).
| 
