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Solution au problème d' avril 2013

Le problème:
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Trouver toutes les paires de nombres réels et d tels que toutes les racines des polynômes
6x^2-24x-4c \quad \mbox{ et } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8
sont des réels non négatifs.

 
Réponses correctes:
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R�ponse. Il existe une seule paire convenable: c = -6, d = 12.

Nous avons re�u les solutions correctes de

Lamis Alsheikh
(Syrie)

Diana Andrei
(Sude)

Jose Arraiz
(France)

Ricardo Bernab� Baloni (Argentine)

Aleksandar Blazhevski
(Mac�doine)

Radouan Boukharfane
(Qu�bec)

Lou Cairoli
(�tats Unis)

Bernard Carpentier (France)

Allen Druze
(�tats Unis)

Edgardo Figueroa Donayre

Jan Fricke
(Allemagne)

Georges Ghosn
(Qu�bec)

Tony Harrison
(Royaume Uni)

Kipp Johnson
(�tats Unis)

Matthew Lim
(�tats Unis)

Patrick J. LoPresti
(�tats Unis)

Nawal Kishor Mishra (India)

Luis Rivera

Albert Stadler
(Suisse)

Bruno Tisserand
(France)

 

Ce probl�me �tait le num�ro 4 du concours de s�lection estonien pour l'olympiade math�matique internationale de 2004-2005 (voir Crux Mathematicorum 35:1 (f�vrier 2009) page 28).

La solution:

Lorsque c = -6 et d = 12, les polyn�mes s'�crivent 6(x-2)^2 et (x-2)^3, et toutes leurs racines valent 2 qui est bien r�el et positif. Il reste � d�montrer qu'aucune autre paire c, d ne fait l'affaire.

Nos correspondants ont commenc� par consid�rer la quadratique 6x^2-24x-4c. Selon Tisserand:

"R�solvons la premi�re �quation 6x^2-24x-4c = 0. Les solutions r�elles sont (6 \pm \sqrt{6}\sqrt{c+6})/3 avec -6 \leq c. Les solutions sont positives si c \leq 0. On a donc -6 \leq c \leq 0.''

On peut analyser la cubique � l'aide de l'in�galit� des moyennes arithm�tique et g�om�trique: Lorsque r, s et t sont des nombres non n�gatifs, on a (r+s+t)/3 \geq \sqrt[3]{rst}, avec �galit� seulement lorsque les trois termes sont �gaux. Lorsque r, s, t sont les racines de x^3 +cx^2 +dx � 8, on a r+s+t = -c et rst = 8, et l'in�galit� donne c \leq -6. On a donc c = -6, et r = s = t = 2. Par cons�quent, d = rs + rt + st = 12.

 

 


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