Solution au problème d' avril 2013

Le problème:
	Trouver toutes les paires de nombres réels $c$ et $d$ tels que toutes les racines des polynômes $$6x^2-24x-4c \quad \mbox{ et } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8$$ sont des réels non négatifs.

Réponses correctes:

Réponse. Il existe une seule paire convenable: $c = -6$, $d = 12$. Nous avons reçu les solutions correctes de Lamis Alsheikh (Syrie) Diana Andrei (Suède) Jose Arraiz (France) Ricardo Bernabé Baloni (Argentine) Aleksandar Blazhevski (Macédoine) Radouan Boukharfane (Québec) Lou Cairoli (États Unis) Bernard Carpentier (France) Allen Druze (États Unis) Edgardo Figueroa Donayre Jan Fricke (Allemagne) Georges Ghosn (Québec) Tony Harrison (Royaume Uni) Kipp Johnson (États Unis) Matthew Lim (États Unis) Patrick J. LoPresti (États Unis) Nawal Kishor Mishra (India) Luis Rivera Albert Stadler (Suisse) Bruno Tisserand (France)   Ce problème était le numéro 4 du concours de sélection estonien pour l'olympiade mathématique internationale de 2004-2005 (voir Crux Mathematicorum 35:1 (février 2009) page 28).

La solution:

Lorsque $c = -6$ et $d = 12$, les polynômes s'écrivent $6(x-2)^2$ et $(x-2)^3$, et toutes leurs racines valent 2 qui est bien réel et positif. Il reste à démontrer qu'aucune autre paire $c, d$ ne fait l'affaire.

Nos correspondants ont commencé par considérer la quadratique $6x^2-24x-4c$. Selon Tisserand:

"Résolvons la première équation $6x^2-24x-4c = 0$. Les solutions réelles sont $(6 \pm \sqrt{6}\sqrt{c+6})/3$ avec $-6 \leq c$. Les solutions sont positives si $c \leq 0$. On a donc $-6 \leq c \leq 0$.''

On peut analyser la cubique à l'aide de l'inégalité des moyennes arithmétique et géométrique: Lorsque $r, s$ et $t$ sont des nombres non négatifs, on a $(r+s+t)/3 \geq \sqrt[3]{rst}$, avec égalité seulement lorsque les trois termes sont égaux. Lorsque $r, s, t$ sont les racines de $x^3 +cx^2 +dx – 8$, on a $r+s+t = -c$ et $rst = 8$, et l'inégalité donne $c \leq -6$. On a donc $c = -6$, et $r = s = t = 2$. Par conséquent, $d = rs + rt + st = 12$.