Solution au problème d' avril 2013
Le problème: |
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Trouver toutes les paires de nombres réels et d tels que toutes les racines des polynômes
6x^2-24x-4c \quad \mbox{ et } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8
sont des réels non négatifs.
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Réponses correctes: |
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R�ponse.
Il existe une seule paire convenable: c = -6, d = 12.
Nous avons re�u les solutions correctes de
Lamis Alsheikh (Syrie)
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Diana Andrei (Su�de)
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Jose Arraiz (France)
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Ricardo Bernab� Baloni (Argentine)
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Aleksandar Blazhevski (Mac�doine)
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Radouan Boukharfane (Qu�bec)
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Lou Cairoli (�tats Unis)
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Bernard Carpentier (France)
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Allen Druze (�tats Unis)
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Edgardo Figueroa Donayre
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Jan Fricke (Allemagne)
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Georges Ghosn (Qu�bec)
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Tony Harrison (Royaume Uni)
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Kipp Johnson (�tats Unis)
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Matthew Lim (�tats Unis)
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Patrick J. LoPresti (�tats Unis)
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Nawal Kishor Mishra (India)
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Luis Rivera
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Albert Stadler
(Suisse)
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Bruno Tisserand (France)
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Ce probl�me �tait le num�ro 4 du concours de s�lection estonien
pour l'olympiade math�matique internationale de 2004-2005
(voir Crux Mathematicorum 35:1
(f�vrier
2009) page 28).
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La solution:
Lorsque c = -6 et d = 12, les polyn�mes s'�crivent
6(x-2)^2 et (x-2)^3, et toutes leurs racines valent 2 qui
est bien r�el et positif. Il reste � d�montrer qu'aucune
autre paire c, d ne fait l'affaire.
Nos
correspondants ont commenc� par consid�rer la quadratique
6x^2-24x-4c. Selon Tisserand:
"R�solvons
la premi�re �quation 6x^2-24x-4c = 0. Les solutions
r�elles sont (6 \pm \sqrt{6}\sqrt{c+6})/3 avec -6 \leq
c. Les solutions sont positives si c \leq 0. On a donc -6
\leq c \leq 0.''
On peut
analyser la cubique �
l'aide de l'in�galit� des moyennes arithm�tique et
g�om�trique: Lorsque r, s et t sont des nombres non
n�gatifs, on a (r+s+t)/3 \geq \sqrt[3]{rst}, avec �galit�
seulement lorsque les trois termes sont �gaux. Lorsque r,
s, t sont les racines de x^3 +cx^2 +dx � 8, on a r+s+t
= -c et rst = 8, et l'in�galit� donne c \leq -6. On a
donc c = -6, et r = s = t = 2. Par cons�quent, d = rs +
rt + st = 12.
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