Solution au problème d' avril 2013

Le problème:
	Trouver toutes les paires de nombres réels $c$ et $d$ tels que toutes les racines des polynômes $$6x^2-24x-4c \quad \mbox{ et } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8$$ sont des réels non négatifs.

Réponses correctes:

R�ponse. Il existe une seule paire convenable: $c = -6$, $d = 12$. Nous avons re�u les solutions correctes de Lamis Alsheikh (Syrie) Diana Andrei (Su�de) Jose Arraiz (France) Ricardo Bernab� Baloni (Argentine) Aleksandar Blazhevski (Mac�doine) Radouan Boukharfane (Qu�bec) Lou Cairoli (�tats Unis) Bernard Carpentier (France) Allen Druze (�tats Unis) Edgardo Figueroa Donayre Jan Fricke (Allemagne) Georges Ghosn (Qu�bec) Tony Harrison (Royaume Uni) Kipp Johnson (�tats Unis) Matthew Lim (�tats Unis) Patrick J. LoPresti (�tats Unis) Nawal Kishor Mishra (India) Luis Rivera Albert Stadler (Suisse) Bruno Tisserand (France)   Ce probl�me �tait le num�ro 4 du concours de s�lection estonien pour l'olympiade math�matique internationale de 2004-2005 (voir Crux Mathematicorum 35:1 (f�vrier 2009) page 28).

La solution:

Lorsque $c = -6$ et $d = 12$, les polyn�mes s'�crivent $6(x-2)^2$ et $(x-2)^3$, et toutes leurs racines valent 2 qui est bien r�el et positif. Il reste � d�montrer qu'aucune autre paire $c, d$ ne fait l'affaire.

Nos correspondants ont commenc� par consid�rer la quadratique $6x^2-24x-4c$. Selon Tisserand:

"R�solvons la premi�re �quation $6x^2-24x-4c = 0$. Les solutions r�elles sont $(6 \pm \sqrt{6}\sqrt{c+6})/3$ avec $-6 \leq c$. Les solutions sont positives si $c \leq 0$. On a donc $-6 \leq c \leq 0$.''

On peut analyser la cubique � l'aide de l'in�galit� des moyennes arithm�tique et g�om�trique: Lorsque $r, s$ et $t$ sont des nombres non n�gatifs, on a $(r+s+t)/3 \geq \sqrt[3]{rst}$, avec �galit� seulement lorsque les trois termes sont �gaux. Lorsque $r, s, t$ sont les racines de $x^3 +cx^2 +dx � 8$, on a $r+s+t = -c$ et $rst = 8$, et l'in�galit� donne $c \leq -6$. On a donc $c = -6$, et $r = s = t = 2$. Par cons�quent, $d = rs + rt + st = 12$.