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Solution au problème de septembre 2011
| Le problème: |
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Trouver les entiers positifs $m$
et
$n$
pour lesquels les racines des
équations
$$x^2 - mx + (n+1) = 0 \quad \mbox{ et }
\quad x^2 - (n+1)x + m = 0$$
sont
des entiers positifs qui, avec $m$
and
$n$
constituent une progression
arithmétique dont la somme est $21$
.
La réponse:
Le problème de septembre est tiré d'une collection d'exercices pour olympiades mathématiques compilée par Ed Barbeau en 1994. Nous avons reçu les solutions correctes de
Jose Arraiz (Brésil) |
Diana Andrei (Suède) |
Quentin Baudenon (France) |
Luigi Bernardini (Italie) |
Lou Cairoli (États Unis) |
Bernard Collignon (France) |
Ignacio Somma Esteves (Uruguay) |
Mei-Hui Fang (Autriche) |
Philippe Fondanaiche (France) |
Jan Fricke (Allemagne) |
Wilfrid Gao (États Unis) |
Gruian Cornel (Roumanie) |
Benoît Humbert (France) |
Tom Holens (Manitoba) |
Ile Ilijevski (Macédoine) |
Kipp Johnson (États Unis) |
Omran Kouba (Syrie) |
Normand Laliberté (Ontario) |
Lethe Li (États Unis) |
Roopesh Mangal (Malaisie) |
Remo Mantovanelli (Italie) |
Omran Kouba (Syrie) |
Alex Love (Ontario) |
Christian Pont (France) |
Nawal Kishor Mishra (Inde) |
Mathias Schenker (Suisse) |
Albert Stadler (Suisse) |
Hakan Summakoğlu (Turquie) |
A. Teitelman (Israël) |
Vijaya Prasad Nalluri (Inde) |
Paul Voyer (France) |
Matthew Lim (États Unis)
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La solution:
La solution la plus courte est celle de Voyer:
"Les 4 racines sont toutes
positives elles aussi (les sommes et produits sont
positifs).Il faut donc trouver 6 nombres positifs de somme 21
en progression arithmétique. La seule possibilité est 1, 2,
3, 4, 5 et 6.
- 5 n'est pas $m$, car il
serait aussi racine.
- Donc 5 est racine et vaut
$n+1$.
- Alors n=4 et l'équation
$x^2-mx+5=0$ associe 1 à 5 ; m=6.
- Il reste $x^2-5x+6=0$ qui a pour racines 2
et 3.''
Le point 2 est le seul qui est difficile à
justifier: Ne pourrait-on pas avoir $5=n$? Plusieurs de nos
correspondants on résolu cette difficulté en déterminant
$m+n$ avec un argument similaire à celui d'Arraiz:
"Soient $x_1, x_2$ les racines de la première
équation, $x_3$ et $x_4$ celles de la seconde on aura :
$$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 +m + n = 21$$
d’autre part :
$x_1 + x_2 = m$ et $x_3 + x_4 = n+1$ (somme des
racines d’une équation)
après remplacement et réduction il reste $m +
n = 10$.''
Ainsi, on ne peut avoir $n=5$, parce qu'alors
on aurait aussi $m=5$.
Notons qu'il n'est pas spécifié que $m$ et
$n$ sont distincts. Cependant, si $m = n = 5$, alors toute
progression arithmétique les contenant doit avoir tous ses
termes égaux à $5$, donc sa somme ne peut valoir 21.
La solution de Baudenon résout le cas où une
racine répétée est interprétée comme un seul terme de la
progression arithmétique:
"[...] S’il y a 3 racines,
c’est qu’il y a 5 termes dans la suite et s’il y a 2
racines, c’est qu’il y a 4 termes dans la suite. Je
réutilise cette formule :
S= $\frac{\mbox{(nombre de termes)} \times \mbox{(1er + dernier terme}}{2}$
Cas où le nombre de racines
est de 3 : 1er + dernier terme = $\frac{42}{5}$
Cas où le nombre de racines
est de 2 : 1er + dernier terme = $\frac{42}{4}$
Ces deux résultats sont
impossibles car les termes doivent être des entiers.''
Finalement, si une seule racine
$r$ est racine double des deux polynômes, alors $m = n+1 =
2r = r^2$, donc $r=2$, $n=3$ et $m=4$. C'est bien une
progression arithmétique, mais sa somme est $9$.
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