Solution au problème d'octobre 2011

Le problème:

Déterminer le plus petit entier positif $n$ tel que $n^2 + 3n + 5$ est divisible par 121, ou démontrer qu'aucun entier ne satisfait cette condition. Nous avons reçu les solutions correctes de Bahman Ahmadi (Regina) Diana Andrei (Suède) Jose Arraiz (Brésil) Ashutosh Claudio Baiocchi (Italie) Bojan Bašić (Serbie) Quentin Baudenon (France) Luigi Bernardini (Italie) Daniel Bitin (Roumanie) Lou Cairoli (États Unis) Bernard Collignon (France) Olivier Cyr (France) Jean Drabbe (Belgique) Jean-Denis Eiden (France) Mei-Hui Fang (Autriche) Sehmus Findik (Turquie) Philippe Fondanaiche (France) Jan Fricke (Allemagne) Bruce Golfman (Autriche) Gruian Cornel (Roumanie) Verena Haider (Autriche) Tom Holens (Manitoba) Benoît Humbert (France) Ile Ilijevski (Macédoine) Wolfgang Kais (Allemagne) Omran Kouba (Syria) Lethe Li (États Unis) Matthew Lim (États Unis) Roopesh Mangal (Malaisie) Nawal Kishor Mishra (Inde) Arnaud Piquerez (France) Kevin Pratt Lee Reis Mathias Schenker (Suisse) Shiv Mohan Sharma (Inde) Albert Stadler (Suisse) Hakan Summakoğlu (Turquie) A. Teitelman (Israëll) Jan van Delden (Pays Bas) Paul Voyer (France) Allen Druze (États Unis)  Nicolas Michel (France) Antonio Ledesma López (Espagne) Ritwik Chaudhuri (Inde)

La solution:

Aucun entier ne satisfait la condition. Nos correspondants ont employ� plusieurs m�thodes �l�gantes pour d�montrer ce r�sultat.

M�thode 1 : la factorisation. Voici la solution de Eiden :

"Montrons que $N = n^2 + 3n + 5$ n�est jamais divisible par $121$; en effet, si $121$ divise $N$ , alors $11$ divise $N$; dans ce cas, $11$ divise aussi

$$N + 11n = n^2 + 14n + 5 = (n + 7)^2 - 44.$$

Puisque $11$ divise $44$, alors $11$ divise $(n + 7)^2$ et �galement $n + 7$ du fait du lemme de Gauss parce que $11$ est premier.

Il est donc n�cessaire que $n$ soit de la forme $11k - 7$; si c�est le cas,

$$N = (11k - 7)^2 + 3(11k - 7) + 5 = 121k(k - 1) + 33.$$

Or, $121$ divise $121k(k - 1)$ mais ne peut diviser $33$. L�assertion est �tablie.''

D'autres correspondants donnent un argument semblable avec la factorisation $n^2 + 3n + 5 = (n-7)(n+4) � 33$ ou bien $4(n^2 + 3n + 5) = (2n+3)^2+11)$.

M�thode 2 : la substitution. Voici une solution de Humbert :

"Soit $m = n-4$.

$$n^2+3n+5 = (m+4)^2+3(m+4)+5 = m^2+11m+33.$$

Soit $11$ divise $m$. Dans ce cas, $121$ divise $m^2+11m$ et ne divise donc pas $m^2+11m+33$.

Soit $11$ ne divise pas $m$, et ne divise donc pas $m^2$ non plus. Or $11$ divise $11m+33$, donc $11$ ne divise pas $m^2+11m+33$.

Dans les deux cas, $121$ ne divise pas $m^2+11m+33$, c'est-�-dire $n^2+3n+5$.''

M�thode 3 : le discrimant. Voici solution de Arraiz :

"L��quation $n^2 + 3n + 5 - 121k = 0$ ($k$ �tant un entier positif) doit avoir au moins une racine enti�re positive, son discriminant est $D = 9 � 4(5 � 121k)$, soit $D = 11(44k-1)$. $D$ doit �tre un carr� donc $44k - 1 = 11u^2$ (avec u entier positif)''

(On a alors $11(4k � u^2) = 1$, ce qui est impossible.)

M�thode 4 : l'arithm�tique modulaire.

Plusieurs correspondants ont observ� que $n^2 + 3n + 5$ est un multiple de $11$ seulement si $n = 11k + 4$, et alors

$$n^2 + 3n + 5 = 121k^2 + 121k + 33,$$

qui n'est pas un multiple de $121$. L'examen des valeurs modulo $11$ de $n^2 + 3n + 5$ lorsque $n = 11k + r$, $r = 0, \ldots, 10$ est assez rapide. Cyr et Haider utilisent plut�t la factorisation $n^2 + 3n + 5 = n^2 � 8n + 16 = (n-4)^2$ dans $\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z}$.

Jean Drabbe travaille plut�t dans $\mathbb{Z} / 121 \mathbb{Z}$ :

"Il est �l�mentaire de v�rifier que pour tout entier $n$,

$$n^2 + 3n + 5 \equiv (n + 62)^2 � 88 \pmod {121}.$$ .

Il suffit donc de montrer que $88$ n'est pas un r�sidu quadratique modulo $121$.

Supposons que $a^2 \equiv 88 \pmod {121}$. Alors,

$$a^4 \equiv 0 \pmod {121 },$$

$$a\cdot a^3 \equiv 0 \pmod {121 },$$

$$\mbox{$a$ est diviseur de $0$ } \pmod {121}.$$

Tous les diviseurs de $0$ modulo $121$ �tant divisibles par $11$ , on aurait $a^2 \equiv 0 \pmod {121 }$. Contradiction !''

M�thode 5 : Surprise!

Apr�s tant de solutions, Humbert trouve pourtant le $n$ recherch� :

"En fait la r�ponse est 16 :

$$16^2 + 3 \cdot16 + 5 = 363 = 3 \cdot 121$$

En base 8 bien s�r !''