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Solution au problème d'octobre 2011
| Le problème: |
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Déterminer le plus petit entier positif $n$ tel que $n^2 + 3n + 5$ est divisible par 121, ou démontrer qu'aucun entier ne satisfait cette condition.
Nous avons reçu les solutions correctes de
Bahman Ahmadi
(Regina) |
Diana Andrei
(Suède) |
Jose Arraiz
(Brésil) |
| Ashutosh |
Claudio Baiocchi
(Italie) |
Bojan Bašić
(Serbie) |
Quentin Baudenon
(France) |
Luigi Bernardini
(Italie) |
Daniel Bitin
(Roumanie) |
Lou Cairoli
(États Unis) |
Bernard Collignon
(France) |
Olivier Cyr
(France) |
Jean Drabbe
(Belgique) |
Jean-Denis Eiden
(France) |
Mei-Hui Fang
(Autriche) |
Sehmus Findik
(Turquie) |
Philippe Fondanaiche
(France) |
Jan Fricke
(Allemagne) |
Bruce Golfman
(Autriche) |
Gruian Cornel
(Roumanie) |
Verena Haider
(Autriche) |
Tom Holens
(Manitoba) |
Benoît Humbert
(France) |
Ile Ilijevski
(Macédoine) |
Wolfgang Kais
(Allemagne) |
Omran Kouba
(Syria) |
Lethe Li
(États Unis) |
Matthew Lim
(États Unis) |
Roopesh Mangal
(Malaisie) |
Nawal Kishor Mishra
(Inde) |
Arnaud Piquerez
(France) |
Kevin Pratt |
Lee Reis |
Mathias Schenker
(Suisse) |
Shiv Mohan Sharma
(Inde) |
Albert Stadler
(Suisse) |
Hakan Summakoğlu
(Turquie) |
A. Teitelman
(Israëll) |
Jan van Delden
(Pays Bas) |
Paul Voyer
(France) |
Allen Druze
(États Unis) |
Nicolas Michel
(France) |
Antonio Ledesma López
(Espagne) |
Ritwik Chaudhuri
(Inde) |
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La solution:
Aucun entier ne satisfait la condition. Nos correspondants
ont employé plusieurs méthodes élégantes pour démontrer
ce résultat.
Méthode 1 : la factorisation. Voici la solution de
Eiden :
"Montrons que $N = n^2 + 3n + 5$ n’est jamais divisible
par $121$; en effet, si $121$ divise $N$ , alors $11$ divise
$N$; dans ce cas, $11$ divise aussi
$$N + 11n = n^2 + 14n + 5 = (n + 7)^2 - 44.$$
Puisque $11$ divise $44$, alors $11$ divise $(n + 7)^2$ et
également $n + 7$ du fait du lemme de Gauss parce que $11$
est premier.
Il est donc nécessaire que $n$ soit de la forme $11k -
7$; si c’est le cas,
$$N = (11k - 7)^2 + 3(11k - 7) + 5 = 121k(k - 1) +
33.$$
Or, $121$ divise $121k(k - 1)$ mais ne peut diviser $33$.
L’assertion est établie.''
D'autres correspondants donnent un
argument semblable avec la factorisation $n^2 + 3n + 5 =
(n-7)(n+4) – 33$ ou bien $4(n^2 + 3n + 5) =
(2n+3)^2+11)$.
Méthode 2 : la substitution. Voici une solution de
Humbert :
"Soit $m = n-4$.
$$n^2+3n+5 = (m+4)^2+3(m+4)+5 = m^2+11m+33.$$
Soit $11$ divise $m$. Dans ce cas, $121$ divise $m^2+11m$
et ne divise donc pas $m^2+11m+33$.
Soit $11$ ne divise pas $m$, et ne divise donc pas $m^2$
non plus. Or $11$ divise $11m+33$, donc $11$ ne divise pas
$m^2+11m+33$.
Dans les deux cas, $121$ ne divise pas $m^2+11m+33$,
c'est-à-dire $n^2+3n+5$.''
Méthode 3 : le discrimant. Voici solution de Arraiz
:
"L’équation $n^2 + 3n + 5 - 121k = 0$ ($k$ étant un
entier positif) doit avoir au moins une racine entière
positive, son discriminant est $D = 9 – 4(5 – 121k) $,
soit $D = 11(44k-1)$. $D$ doit être un carré donc $44k - 1 =
11u^2$ (avec u entier positif)''
(On a alors $11(4k – u^2) = 1$, ce qui est impossible.)
Méthode 4 : l'arithmétique modulaire.
Plusieurs correspondants ont observé que $n^2 + 3n + 5$
est un multiple de $11$ seulement si $n = 11k + 4$, et alors
$$n^2 + 3n + 5 = 121k^2 + 121k + 33,$$
qui n'est pas un multiple de $121$. L'examen des valeurs
modulo $11$ de $n^2 + 3n + 5$ lorsque $n = 11k + r$, $r = 0,
\ldots, 10$ est assez rapide. Cyr et Haider utilisent plutôt
la factorisation $n^2 + 3n + 5 = n^2 – 8n + 16 = (n-4)^2$
dans $\mathbb{Z} / 11 \mathbb{Z}$.
Jean Drabbe travaille plutôt
dans $\mathbb{Z} / 121 \mathbb{Z}$ :
"Il est élémentaire de vérifier que
pour tout entier
$n$,
$$n^2 + 3n + 5 \equiv (n + 62)^2 – 88 \pmod {121}.$$.
Il suffit donc de montrer que $88$ n'est pas un résidu
quadratique modulo $121$.
Supposons que $ a^2 \equiv 88 \pmod {121}$.
Alors,
$$a^4 \equiv 0 \pmod {121
},$$
$$a\cdot a^3 \equiv 0 \pmod {121
},$$
$$\mbox{$a$ est diviseur de $0$ } \pmod {121}.$$
Tous les diviseurs de $0$ modulo $121$ étant divisibles
par $11$ , on aurait
$a^2 \equiv 0 \pmod {121
}$.
Contradiction !''
Méthode 5 : Surprise!
Après tant de solutions, Humbert trouve pourtant le $n$
recherché :
"En fait la réponse est 16 :
$$16^2 + 3 \cdot16 + 5 = 363 = 3 \cdot 121
$$
En base 8 bien sûr !''
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