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Solution au problème de mars 2012

Le problème:
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Est-ce qu'on peut arranger les seize chiffres de la liste

$$2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9 $$

pour former deux nombres $A$, $B$ de huit chiffres, tels que $B = 2 A$ ?

Notez bien: Ne soumettez votre solution que si elle est élégante et évite les longues études de cas par cas.

On peut se réchauffer en arrangeant les douze chiffres de la liste

$$ 1,1,2,2,4,4,5,5,7,7,8,8 $$

pour former deux nombres $A$, $B$ de six chiffres, tels que $B = 2 A$ (sans nous soumettre la solution de ce réchauffement).

Solution: Non.

Nous avons reçu les solutions correctes de

 

Lamis Alsheikh (Syrie)

Martin Argerami (Regina)

Patrik Bak (Slovaquie)

Bojan Bašić (Serbie)

Luigi Bernardini (Italy)

Aleksandar Blazhevski-Cane (Macédoine)

Lou Cairoli (USA)

Bernard Collignon (France)

Hubert Desprez, (France)

Mei-Hui Fang (Autriche)

Philippe Fondanaiche (France)

Bruce Golfman (Autriche)

Gruian Cornel (Roumanie)

Verena Haider (Autriche)

Tony Harrison (Angleterre) Tom Holens (Manitoba)
Benoît Humbert (France) Ilijevski (Macédoine)
Wolfgang Kais (Allemagne) Omran Kouba (Syrie)
Albert Stadler (Suisse) Hakan Summakoğlu (Turquie)

La plupart de nos correspondants ont utilisé l'arithmétique modulaire. La solution de Fondanaiche utilise l'ingrédient de base de la "preuve par neuf'' : la somme des chiffres d'un nombre est congrue modulo 9 à celui-ci.

"La somme des seize chiffres est égale à $2(9 \cdot 10/2 – 1) = 88 = 7$ modulo 9. Soit $A$ le premier nombre constitué avec huit des seize chiffres. La somme de ses chiffres modulo 9 est un entier $x$ compris entre 0 et 8. Soit $B$ le nombre constitué avec les huit chiffres restants. Comme on souhaite obtenir $B = 2A$, il en résulte que la somme des chiffres de $B$ modulo 9 est un entier $y$ compris entre 0 et 8 tel que $y = 2x$ modulo 9. Quand on additionne $A$ et $B$ on obtient un nombre $C$ dont la somme des chiffres est égale à la somme des 16 chiffres d’origine modulo 9. Ce qui revient à écrire que $x + y = 3x = 7$ modulo 9, ce qui est impossible.''

Plus généralement, pour qu'un ensemble de chiffres puisse être partagé en deux nombres $A$ et $B$ tels que $B = 2A$, la somme des chiffres doit être un multiple de 3. Dans l'exemple

$$ 1,1,2,2,4,4,5,5,7,7,8,8 $$

la somme des chiffres est 54, et on a par exemple $285 714 = 2 \cdot 142 857$. Notons que la condition est nécessaire mais pas suffisante: Par exemple, la somme des chiffres de

$$ 1,1,3,3,5,5 $$

est 18, mais il est impossible de partager ces chiffres en deux nombres $A$ et $B$ tels que $B = 2A$.

 

 


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