Solution au problème de mars 2012

Le problème:

Est-ce qu'on peut arranger les seize chiffres de la liste $$2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9 $$ pour former deux nombres $A$, $B$ de huit chiffres, tels que $B = 2 A$ ? Notez bien: Ne soumettez votre solution que si elle est élégante et évite les longues études de cas par cas. On peut se réchauffer en arrangeant les douze chiffres de la liste $$ 1,1,2,2,4,4,5,5,7,7,8,8 $$ pour former deux nombres $A$, $B$ de six chiffres, tels que $B = 2 A$ (sans nous soumettre la solution de ce réchauffement).

Solution: Non.

Nous avons reçu les solutions correctes de

La plupart de nos correspondants ont utilisé l'arithmétique modulaire. La solution de Fondanaiche utilise l'ingrédient de base de la "preuve par neuf'' : la somme des chiffres d'un nombre est congrue modulo 9 à celui-ci.

"La somme des seize chiffres est égale à $2(9 \cdot 10/2 – 1) = 88 = 7$ modulo 9. Soit $A$ le premier nombre constitué avec huit des seize chiffres. La somme de ses chiffres modulo 9 est un entier $x$ compris entre 0 et 8. Soit $B$ le nombre constitué avec les huit chiffres restants. Comme on souhaite obtenir $B = 2A$, il en résulte que la somme des chiffres de $B$ modulo 9 est un entier $y$ compris entre 0 et 8 tel que $y = 2x$ modulo 9. Quand on additionne $A$ et $B$ on obtient un nombre $C$ dont la somme des chiffres est égale à la somme des 16 chiffres d’origine modulo 9. Ce qui revient à écrire que $x + y = 3x = 7$ modulo 9, ce qui est impossible.''

Plus généralement, pour qu'un ensemble de chiffres puisse être partagé en deux nombres $A$ et $B$ tels que $B = 2A$, la somme des chiffres doit être un multiple de 3. Dans l'exemple

$$ 1,1,2,2,4,4,5,5,7,7,8,8 $$

la somme des chiffres est 54, et on a par exemple $285 714 = 2 \cdot 142 857$. Notons que la condition est nécessaire mais pas suffisante: Par exemple, la somme des chiffres de

$$ 1,1,3,3,5,5 $$

est 18, mais il est impossible de partager ces chiffres en deux nombres $A$ et $B$ tels que $B = 2A$.