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Solution au problème de février 2012
| Le problème: |
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Déterminer s'il existe une fonction bornée $f$ à valeurs réelles
telle que $f(1) > 0$ et
$$\left(f(x+y)\right)^2 \ge \left(f(x)\right)^2 + 2f(xy) +\left(f(y)
\right)^2.$$
pour tous réels $x$ et $y$.
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Non, il n'existe aucune telle fonction. Nous avons reçu les solutions correctes de
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Lamis Alsheikh (Syrie) |
Lou Cairoli (États Unis) |
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Bernard Collignon (France) |
Hubert Desprez (France) |
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Mei-Hui Fang (Autriche) |
Frank Feys |
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Verena Haider (Autriche) |
Benoît Humbert (France) |
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Omran Kouba (Syrie) |
Marc Lichtenberg (France) |
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Matthew Lim (États Unis) |
Albert Stadler (Suisse) |
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Alessandro Ventullo (Italie) |
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Nous reproduisons la solution de Humbert :
"Raisonnons
par l'absurde en supposant qu'il existe une telle fonction
$f$.
Considérons
la suite $u$ définie par récurrence par $u_{n+1} = u_n +
\frac{1}{u_n}$ et un terme initial $u_0$ non nul.
Alors,
par récurrence, tous les termes de $u$ sont de même signe,
non nul, et $u$ est donc bien définie sur $\mathbb{N}$.
En
appliquant l'inégalité de l'énoncé à $x = u_n$ et $y =
\frac{1}{u_n}$, on a :
Pour
tout entier naturel $n$,
\begin{eqnarray*}
f(u_{n+1})^2 &=& f \left(u_n +
\frac{1}{u_n}\right )^2\\
&\ge& f(u_n)^2 + 2f(1) + f \left (
\frac{1}{u_n}\right )^2 \ge
f(u_n)^2 + 2f(1).
\end{eqnarray*}
Et
donc, pour tout entier naturel $n$, $$f(u_n)^2 \geq f(u_0)^2 +
2f(1)\cdot n \rightarrow + \infty.$$
(car $f(1)>0$). Ainsi,
$|f(u_n)| \rightarrow + \infty$. La fonction $f$ n'est pas
bornée, ce qui contredit l'hypothèse."
Commentairess. Le problème de février est tiré de la ronde finale de la 31-ème
olympiade mathématique russe de 2005. N. Agakhanov, qui a proposé
le problème, a peut-être
choisi la constante "2'' comme coefficient de $xy$ pour des
raisons esthétiques. Hubert Desprez fait
remarquer que n'importe quelle constante positive ferait
l'affaire; il arrive même
à
résoudre
le problème lorsque cette constante est $0$. De même,
la condition $f(1) > 0$ peut être remplacée par $f(r) >
0$ pour n'importe quel réel
$r$ non-nul. Par contre, Lim fait remarquer que la fonction
constante $f(x) = -1$ satisfait toutes les hypothèses sauf
$f(r)
> 0$ pour quelque réel
$r$ non-nul. Kouba propose $f(x) =
-\min(1, |x|)$ comme exemple de fonction non constante avec
les mêmes
propriétés.
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