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Solution au problème de février 2012

Le problème:
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Déterminer s'il existe une fonction bornée $f$ à valeurs réelles
telle que $f(1) > 0$ et
$$\left(f(x+y)\right)^2 \ge \left(f(x)\right)^2 + 2f(xy) +\left(f(y)
\right)^2.$$
pour tous réels $x$ et $y$.

Non, il n'existe aucune telle fonction.

Nous avons reçu les solutions correctes de

Lamis Alsheikh (Syrie)

Lou Cairoli (États Unis)

Bernard Collignon (France)

Hubert Desprez (France)

Mei-Hui Fang (Autriche)

Frank Feys

Verena Haider (Autriche)

Benoît Humbert (France)

Omran Kouba (Syrie)

Marc Lichtenberg (France)

Matthew Lim (États Unis)

Albert Stadler (Suisse)

Alessandro Ventullo (Italie)

 

Nous reproduisons la solution de Humbert :

"Raisonnons par l'absurde en supposant qu'il existe une telle fonction $f$. Considérons la suite $u$ définie par récurrence par $u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$ et un terme initial $u_0$ non nul. Alors, par récurrence, tous les termes de $u$ sont de même signe, non nul, et $u$ est donc bien définie sur $\mathbb{N}$. En appliquant l'inégalité de l'énoncé à $x = u_n$ et $y = \frac{1}{u_n}$, on a :

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{eqnarray*}
f(u_{n+1})^2 &=& f \left(u_n + \frac{1}{u_n}\right )^2\\
&\ge& f(u_n)^2 + 2f(1) + f \left ( \frac{1}{u_n}\right )^2 \ge
f(u_n)^2 + 2f(1).
\end{eqnarray*}

Et donc, pour tout entier naturel $n$, $$f(u_n)^2 \geq f(u_0)^2 + 2f(1)\cdot n \rightarrow + \infty.$$ (car $f(1)>0$). Ainsi, $|f(u_n)| \rightarrow + \infty$. La fonction $f$ n'est pas bornée, ce qui contredit l'hypothèse."

Commentairess. Le problème de février est tiré de la ronde finale de la 31-ème
olympiade mathématique russe de 2005. N. Agakhanov, qui a proposé le problème, a peut-être choisi la constante "2'' comme coefficient de $xy$ pour des raisons esthétiques. Hubert Desprez fait remarquer que n'importe quelle constante positive ferait l'affaire; il arrive même à résoudre le problème lorsque cette constante est $0$. De même, la condition $f(1) > 0$ peut être remplacée par $f(r) > 0$ pour n'importe quel réel $r$ non-nul. Par contre, Lim fait remarquer que la fonction constante $f(x) = -1$ satisfait toutes les hypothèses sauf $f(r) > 0$ pour quelque réel $r$ non-nul. Kouba propose $f(x) = -\min(1, |x|)$ comme exemple de fonction non constante avec les mêmes propriétés.

 

 

 


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