Solution au problème de décembre 2011

Le problème:
	Trouver tous les premiers $p$ tels que $\large \frac{2^{p-1} -1}{p}$ est un carré.

La solution:

Nous avons reçu les solutions correctes de

La solution: $p = 3$ et $p = 7$.

Nous avons tiré ce problème de l'olympiade mathématique thaïlandaise de 2006. Jean Drabbe nous informe qu'il a aussi été traité par Lucas à la page 423 de son livre "Théorie des Nombres" (1891). Ce livre peut être téléchargé gratuitement à partir du site http://gallica.bnf.fr de la Bibliothèque Nationale de France (en passant par http://visualiseur.bnf.fr/Visualiseur?Destination=Gallica&O=NUMM-29021), ou du site http://www.archive.org/details/thoriedesnombre00lucagoog. Les solutions de nos correspondants étaient similaires a celle de Lucas. Nous reproduisons la solution de Fondanaiche.

"Le petit théorème de Fermat nous permet d’affirmer que, $p$ étant un nombre premier, la quantité $\large \frac{2^{p-1} -1}{p}$ est toujours un nombre entier. Dès lors si $\large \frac{2^{p-1} -1}{p}$ est un carré, il s’agit d’un carré parfait $a^2$ avec $a$ entier.

A partir des premières valeurs de $p = 2,3,5$ et $7$ on vérifie aisément qu’il n’y a pas de solution pour $p = 2$ et pour $p = 5$. A l’inverse pour $p = 3$ et pour $p = 7$, on a respectivement $\large \frac{2^{p-1} -1}{p} = 1$ et $9$ qui sont bien des carrés parfaits.Nous allons démontrer qu’il n’y a pas d’autres solutions possibles pour $p > 7$.

Soit $\large \frac{2^{p-1} -1}{p} = a^2$. D’où $2^{p-1} -1 = pa^2$. Comme $p$ est un nombre impair, $\frac{p-1}{2}$ est un nombre entier et l’on a

$$2^{p-1} -1 = (2^{\frac{p-1}{2}} + 1)(2^{\frac{p-1}{2}} - 1)$$

avec $\large 2^{\frac{p-1}{2}} + 1$ et $\large 2^{\frac{p-1}{2}} – 1$ qui sont deux entiers impairs dont la différence est égale à 2. Ces deux entiers sont donc relativement premiers entre eux,c’est à dire qu’ils n’ont pas d’autres facteurs en commun autres que 1.

Comme $p$ est premier, il en résulte que l’on a $\large 2^{\frac{p-1}{2}} – 1 = x^2$ et $\large 2^{\frac{p-1}{2}} + 1 = py^2$ ou bien $\large 2^{\frac{p-1}{2}} – 1 = py^2$ et $\large 2^{\frac{p-1}{2}} + 1 = x^2$ avec $x$ et $y$ entiers.

1^er cas : $\large 2^{\frac{p-1}{2}} – 1 = x^2$ avec $x$ entier impair. Or tout carré d’un nombre impair est égal à 1 modulo 4, tandis que le premier membre $\large 2^{\frac{p-1}{2}} – 1$ est égal à 1 modulo 4 pour $p = 3$ et à – 1 modulo 4 pour $p > 3$. L’unique solution est donc $x = 1$ pour $p = 3$.

2^eme cas : $\large 2^{\frac{p-1}{2}} + 1 = x^2$, qui s'écrit encore $\large 2^{\frac{p-1}{2}} = x^2 – 1 = (x + 1)(x – 1)$. Or une puissance de 2 ne peut être le produit de deux entiers pairs consécutifs que si $x = 3$. D’où l’unique solution $p = 7$.''