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Solution au problème d'octobre 2010
| Le problème: |
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MP98
Problème d'octobre 2010
Trouver tous les nombres premiers p tels que 2p + p2 est aussi un nombre premier.
Nous avons reçu des solutions correctes de
Bojan Basic (Serbie) |
Kipp Johnson (États Unis) |
Luigi
Bernardini (Italie)
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Wolfgang Kais
(Allemagne) |
José
Borges (Portugal)
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Bushra Khawaja (Regina) |
| Lou Cairoli
(États Unis) |
Mehdi Kolahchi
(Canada) |
Bernard Collignon (France) |
Jinzhong Li (China) |
Shai Covo (Israël) |
Matthew Lim
(États Unis) |
| Zdravko
Cvetkovski (Macédoine) |
Daniel Lopez Aguayo (Mexique) |
Dan Dima
(Roumanie)
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Roopesh Mangal (Malaisie) |
| Daniel Drob (Québec) |
Remo
Mantovanelli (Italie) |
Allen Druze (USA)
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Milan Pavic
(Serbie) |
| Sébastien
Dumortier (France) |
Benjamin
Phillabaum |
Mei-Hui Fang
(Autriche) |
Christian Pont
(France) |
Philippe Fondanaiche (France) |
Shpetim Rexhepi (Macedonia) |
Sergey Gleizer (USA) |
John T.
Robinson (États Unis)
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Bruce Golfman (Autriche) |
Elon Smith (États Unis)
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| Cornel Gruian (Roumanie) |
Albert Stadler (Suisse)
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| Verena Haider (Autriche) |
Damian Straszak (Pologne)
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| Tom Holens
(Manitoba) |
Jan van Delden (Pays-Bas) |
| Benoît
Humbert (France) |
Paul Voyer
(France) |
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La solution:
La seule solution est p
= 3, 2p
+ p2 = 17. Nous donnons d'abord la
solution de Christian Pont, qui a utilisé l'arithmétique modulo 3 comme
la plupart de nos correspondants.
"On commence par 2, pour
lequel 22
+ 22 est manifestement
pair, donc non premier.
On poursuit par 3, pour
lequel 23
+ 32 = 8 + 9 = 17 est premier.
Au-delà, pour les autres nombres premiers, il n'est plus
possible de trouver un nombre premier répondant à la
question.
En
effet, 2 ≡ –1 (mod 3), ce qui
implique, pour tout premier impair >3,
que 2p ≡ ( – 1)p ≡ –1 (mod 3). Par ailleurs, p ≡ –1 ou p ≡ 1 (mod 3) et par
suite, p2 ≡ 1 (mod 3). Au final, 2p
+ p2 ≡ 0 (mod 3), et il n'y a donc
aucun autre nombre premier répondant à la question
puisqu'on obtient toujours un multiple de 3.''
Commentaires. Straszak note que la
primalité de p ne joue
pas un grand rôle dans cette démonstration. En effet,
selon le même argument, pour tout n impair qui n'est pas multiple de 3, f(n) = 2n
+ n2 est un multiple de 3. Lorsque n est pair, f(n) l'est aussi, donc les seuls
entiers n pour lesquels f(n) est possiblement premier sont
les multiples impairs de 3. On
peut vérifier que f(9) = 593,
f(15) = 32993 et f(21) = 2097593 sont bien premiers.
Par contre, f(27) = 134218457 =
73·521·3529 est composé. La condition n'est
donc pas suffisante.
Lim a démontré que ce qui fonctionne pour 3 fonctionne aussi pour les autres
premiers impairs:
Si
q > 2 est premier, alors pour tout n impair qui n'est pas un
multiple de q, (q - 1)n + nq-1 est un multiple de
q.
En effet, q - 1 ≡ –1 (mod q),
donc pour tout n impair, (q
- 1)n ≡ ( – 1)n
≡ –1 (mod q). Par ailleurs, puisque q est premier, on a nq - 1 ≡ 1 (mod q),
selon le petit théorème de Fermat. Par conséquent,
(q - 1)n
+ nq-1 est un multiple de
q. Notre problème
d'avril 2004 portait sur le cas q = 5.
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