"10, 12 et tous les nombres supérieurs à 14 conviennent:
$n = 4k+2$ convient pour tout $k \geq 2$ :
Le $(2k+1)$-gone étoilé relie $4k+2$ points par des segments alignés deux à deux.
Exemple : le pentagone étoilé relie 10 points.
$n = 4k$ convient pour tout $k \geq 3$ :
On superpose un $k$-gone régulier avec son image par rotation d'angle $\frac{\pi}{k}$. L'enveloppe relie $4k$ points par des segments alignés deux à deux.
Exemple : l'étoile à six branches relie 12 points.
En résumé, tous les nombres pairs supérieurs à 10 conviennent.
Soit $n$ l'un de ces nombres. Alors $n+5$ convient aussi :
On part de l'étoile reliant $n$ points et on choisit l'une de ses branches. On en replie la pointe et on l'étire suffisamment pour qu'elle recouvre le sommet opposé sur l'étoile, et lui seul. On évide la partie de la branche initiale doublée par la pointe étirée.
Exemple à partir du pentagone étoilé :
On obtient une solution à 15 points.
Exemple à partir de l'étoile à six branches :
On obtient une solution à 17 points.
13 convient:
13 convient si l'on accepte que certains des points à relier soient confondus, et qu'un segment en recouvre un autre.
Exemple : le jeu de 13 points ci-contre.
13 ne convient pas, si on impose aux points d'être distincts:
(les nombres impairs inférieurs à 13 non plus) |
