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Solution au problème de décembre 2010

Le problème:
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Est-ce que (20102011!)2 est plus grand que 2010201120102011?

expression

Nous avons reçu des solutions correctes de

Bojan Bašić (Serbie) Wolfgang Kais (Allemagne)
Luigi Bernardini (Italie) Paul King (Ontario)
José Borges (Portugal) Normand LaLiberté (Ontario)
Lou Cairoli (États Unis) Matthew Lim (États Unis)
José David Calcines Padilla Remo Mantovanelli (Italie)
K.A. Chandrashekara (Inde) Nawal Kishor Mishra (Inde)
Bernard Collingnon (France) Vincent Pantaloni (France)
Gruian Cornel (Roumanie) Paolo Perfetti (Italie)
Shai Covo (Israël) Christian Pont (France)
Allen Druze (États Unis) Shpetim Rexhepi (Macédoine)
Mei-Hui Fang (Autriche) John T. Robinson (États Unis)
Philippe Fondanaiche (France) Ilir Selmani (Macédoine)
Paul Führmann and Nicolas Michel (France) Heri Setiyawan (Indonésie)
Bruce Golfman (Autriche) Madan Mohan Singhal
Verena Haider (Autriche)
Albert Stadler (Suisse)
Paul Hatfield (Australie) Todd Stohs
Benoît Humbert (France) Damian Straszak (Pologne)
Ile Ilijevski (Macédoine) A. Teitelman (Israël)
Kipp Johnson (États Unis) Paul Voyer (France)

La solution:

La réponse est oui, de beaucoup.  Selon l'ordinateur de Bašić,  (20102011!)2 a plus de 276 000 000 chiffres alors que   2010201120102011 a moins de 147 000 000 chiffres! Nous avons reçu plusieurs démonstrations différentes.  D. Kipp Johnson a tellement aimé le problème qu'il nous a fait parvenir sept solutions différentes. Nous présenterons quatre de ses démonstrations (incorporant les idées de nos autres correspondants) et une cinquième démonstration de Singhal et Golfman. La première démonstration remporte le prix pour la simplicité, et le prix pour l'originalité va à la cinquième. 

Première démonstration: Une inégalité élémentaire
Notons d'abord que pour 1 ≤ kn,

k · (n - (k - 1)) = n + (k - 1)(n - k) ≥ n,

avec égalité lorsque k = 1 ou k = n, et inégalité stricte lorsque 1 < k < n.  Donc pour tout entier n plus grand que 2,

eqn

Deuxième démonstration:  L'induction.
Démontrons que (n!)2 > nn pour n ≥ 3.
On a (3!)2 = 36 et 33 = 27, donc (n!)2 > nn lorsque n = 3; c'est le cas de base.  Supposons maintenant que pour un entier k ≥ 3, on a (k!)2 > kk. Sachant que eqn< 3 (si on ne le sait pas, on peut consulter la démonstration ci-bas), on a k + 1 > eqn. ce qui donne la chaîne suivante d'inégalités:

inequalities

Le pas d'induction est donc complété, et l'inégalité est démontrée pour tout n ≥ 3; en particulier, l'inégalité est vraie pour n = 20102011.

Commentaire. Puisque eqn croît avec n vers e = 2.718..., la suite joue un rôle important en analyse.  Par contre un argument simple suffit à démontrer que eqn < 3. Verena Haider donne l'argument suivant, basé sur le théorème du binôme:

proof

Troisième démonstration:  L'approximation de Stirling.

Selon la version enfantine de la formule de Stirling, eqn pour tout entier positif n; on peut consulter MathWorld ou Wikipedia pour une démonstration.  Lorsque n ≥ 8 on a n > e2 , et donc

eqn

ce qui démontre que (20102011!)2 > 2010201120102011.

Quatrième démonstration:  Les sommes de Riemann. (La version de Matthew Lim.)

Lorsque n > e2, on a ln n -2 > 0 et

eqn

En appliquant la fonction exponentielle des deux côtés, on obtient (n!)2 > nn pour tout entier n ≥ 8.

(Notons que cette démonstration est en gros la même que la précédente, avec la démonstration de la formule de Stirling intégrée.)

Cinquième démonstration:  L'inégalité arithmético-géométrique.
La suite

eqn

a n – 1 termes, qui sont distincts lorsque n > 2.  Sa moyenne arithmétique est

eqn

et sa moyenne géométrique est

eqn

La moyenne arithmétique d'une suite de termes distincts est toujours supérieure à sa moyenne géométrique, donc pour n > 2,

ineq

ou

ineq

 

 

 


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