Solution au problème d'avril 2011

Le problème:

Existe-t-il une fonction continue $f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\;$ qui prend chacune des valeurs de son image deux fois exactement? Existe-t-il une fonction continue $f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\;$ qui prend chacune ses valeurs de son image trois fois exactement? La réponse: Non à la partie (a); Oui à la partie (b)   Nous avons reçu les solutions correctes de Lou Cairoli (États Unis) Mei-Hui Fang (Autriche) Philippe Fondanaiche (France) Gruian Cornel (Roumanie) Tom Holens (Manitoba) Lars Huettenberger (Allemagne) Benoît Humbert (France) Ile Ilijevski (Macédoine) Kipp Johnson (États Unis) Omran Kouba (Syrie) Antek Łączkowski (Pologne) Matthew Lim (États Unis) Patrick J. LoPresti (États Unis) Fatemeh Naghipour (Regina) Paolo Perfetti (Italie) Shpetim Rexhepi (Macédoine) John T. Robinson (États Unis) Ignacio Somma Esteves Albert Stadler (Suisse)

La solution:

Solution à la partie (a). Nous reproduisons la solution de Fondanaiche.

"Supposons qu’il existe deux nombres réels $a$ et $b$ avec $a < b$ tels que $f(a) = f(b)$. A l’intérieur de l’intervalle $[a,b]$, on ne peut pas avoir deux nombres $c$ et $d$ distincts tels que $f(c) > f(a)$ et $f(d) < f(a)$. Si c’était le cas,d’après le théorème des valeurs intermédiaires (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_valeurs_intermédiaires ) on aurait un nombre $e$ compris entre $c$ et $d$ tel que $f(e) = f(a)$ et la valeur $f(a)$ serait prise trois fois. D’où contradiction. Il en résulte qu’à l’intérieur de l’intervalle $[a,b$ et pour tout $x \in [a,b]$, on a $f(x) > f(a)$ ou bien $f(x) < f(a)$.

Sans perte de généralité, supposons $f(x) > f(a)$.

Prenons un point $c \in [a,b]$. Toujours d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ qui est continue prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(c)$ sur $[a,c]$ mais aussi sur $[c,b]$. Pour $x < a$ ou pour $x > b$, on ne peut pas avoir $f(x) > f(a)$. Sinon il en résulterait que $f$ prendrait ces valeurs une troisième fois sur $[x,a]$ ou sur $[b,x]$. On a donc $f(x) < f(a)$ pour $x$ en dehors de l’intervalle $[a,b]$.

Par conséquent la fonction $f$ est bornée supérieurement sur $\mathbb{ R}$. Soit Max la valeur maximale. Si cette valeur maximale est prise une fois et une seule, on est en contradiction avec l’hypothèse initiale. La valeur Max est alors prise deux fois. D’où la configuration ci-dessous dans laquelle on constate qu’il y a quatre points à l’intérieur de l’intervalle [a,b] et non deux pour lesquels f prend la même valeur. D’où contradiction.

Prenons un point $c \in [a,b]$. Toujours d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $f$ qui est continue prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(c)$ sur $[a,c]$ mais aussi sur $[c,b]$. Pour $x < a$ ou pour $x > b$, on ne peut pas avoir $f(x) > f(a)$. Sinon il en résulterait que $f$ prendrait ces valeurs une troisième fois sur $[x,a]$ ou sur $[b,x]$. On a donc $f(x) < f(a)$ pour $x$ en dehors de l’intervalle $[a,b]$.

Par conséquent la fonction $f$ est bornée supérieurement sur $\mathbb{ R}$. Soit Max la valeur maximale. Si cette valeur maximale est prise une fois et une seule, on est en contradiction avec l’hypothèse initiale. La valeur Max est alors prise deux fois. D’où la configuration ci-dessous dans laquelle on constate qu’il y a quatre points à l’intérieur de l’intervalle [a,b] et non deux pour lesquels f prend la même valeur. D’où contradiction.

Nota : la démonstration est rigoureusement la même si $f(x) < f(a)$ sur $[a,b]$ avec une valeur minimale Min prise par $f$ sur $\mathbb{ R}$.''

Solution à la partie (b). Nos correspondants nous ont envoyé plusieurs exemples.

Type 1.

Figure 1: f(x)

La Figure 1 est une légère modification du fichier GeoGebra que nous a envoyé Humbert. Comme son nom l'indique, GeoGebra combine l'algègre et les graphiques. On peut le télécharger gratuitement, mais ça peut prendre un bout de temps pour apprendre à s'en servir.

Figure 2: $g(x) = \frac2{3\pi}x + \sin x +\frac1{3\pi}\sin 2\pi$

La Figure 2 est une copie de la page WolframAlpha produite LoPresti en entrant la commande

graph[2/(3pi)*x + sin(x) + 1/(3pi)*sin(2x)]

dans l'espace prévu à cette fin à la page www.wolframalpha.com. Vous pouvez explorer la figure en déplaçant la souris, et modifier l'équation.

D'autres exemples sont disponibles sur notre page anglaise.

Commentaires. Plusieurs de nos correspondants ont noté que plus généralement, il existe une fonction continue qui prend toutes les valeurs de son image exactement $n$ fois si et seulement si $n$ est impair. Nous reproduisons ici l'argument de Humbert.

Fonction double-image ou 2n-image :

Soit $n$ un entier strictement positif.

Supposons qu'il existe une fonction $f$ prenant chacune de ses valeurs $2n$ fois exactement.

Soit $v$, l'une de ces valeurs, et $a_1, \ldots, a_{2n}$ ses antécédents par $f$.

Posons $g: x \rightarrow f(x)-v$.

• La fonction $f$ ne peut admettre d'extremum global : celui-ci devrait, par hypothèse, être atteint $2n$ fois, et on trouverait alors (à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires) une valeur voisine atteinte au moins $4n$ fois par $f$.

• $g$ doit être de signes opposés sur $]-\infty; a_1[$ et sur $]a_{2n}; +\infty[$, sans quoi, étant continue sur le segment qui les sépare, elle admettrait un extremum global, et $f$ aussi.

• Parmi les $2n-1$ intervalles bornés découpés sur $\mathbb{ R}$ par $a_1, \ldots, a_{2n}$, il y en a nécessairement au moins $n$ sur lesquels $g$ prend le même signe, et il existe une valeur prise au moins deux fois par $g$ sur chacun de ces $n$ intervalles bornés, plus une fois sur l'un des deux intervalles non bornés, soit au moins $2n+1$ fois en tout. $f$ prend donc $2n+1$ fois au moins la même valeur. Contradiction !

Il n'existe pas de fonction réelle continue prenant chacune de ses valeurs 2n fois.

Fonction triple-image ou 2n+1-image :

Pour tout entier strictement positif $n$, la fonction $g_n$ définie ci-dessous est régulière et atteint chaque réel $2n+1$ fois :

$$g_n: x \rightarrow x - \frac{1}{4\pi}\sin(4\pi x) + (2n+1)\frac{cos(2\pi x) – 1}{4}.$$