|
Solution au problème de novembre 2009
| Le problème: |
 |
MP90
Problème de novembre 2009
Soit une grille 4 par 4 de mots croisés sans cases noires.
Elle contient donc quatre mots horizontaux et quatre mots verticaux.
Les sept mots suivants apparaissent dans la grille:
MPMM, DMPM, DMPP, DDMD, DDMP, PDDM, and PDPM.
Quel est le huitième?
Notre problème de novembre vient de la collection de Joe Konhauser
(1924-1992), qui fut professeur de mathématiques au collège Macalester.
Nous avons reçu des solutions correctes de
| Halima
Abdalla Bashier (Regina) |
Allen Druze (États Unis) |
Claudio Baiocchi (Italie) |
Magnus Jakobsson (Suède) |
Bojan Basic (Serbie) |
Omran Kouba (Syrie) |
Luigi Bernardini (Italie) |
Remo Mantovanelli (Italie) |
José Borges (Portugal) |
Jomel Matalog |
Lou Cairoli (États Unis) |
Milan Pavic (Serbie) |
Bernard Carpentier (France) |
John T. Robinson (États Unis) |
Bernard Collignon (France) |
Albert Stadler (Suisse) |
Philippe Fondanaiche (France) |
Jerry Vicars (États Unis) |
| Tom Fuzzesy (Regina) |
|
|
La solution:
Le mot manquant est PDDP. Pour le démontrer, il faut produire une grille avec les sept mots donnés et PDDP, et aussi un argument, aussi concis que possible, démontrant qu'aucune autre solution n'est possible. Nos correspondants se sont servis de plusieurs indices pour démontrer l'unicité de la solution. Nous donnons ici une modification de la solution de Claudio Baiocchi.
-
Éventuellement après transposition de la grille, on peut supposer que le mot MPMM est horizontal; on va montrer qu'il doit être écrit dans la quatrième ligne:
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
M P M M
En fait:
- s'il était en première ligne, on aurait besoin de trois mots verticaux commençants par M; mais (ayant déjà placé MPMM) seulement le mot inconnu peut commencer par M;
- s'il était en deuxième ligne, il faudrait en vertical un mot ayant la lettre P en deuxième position et trois mots ayant en deuxième position la lettre M; tout en employant le mot inconnu, on dispose au plus de trois parmi ces quatre mots;
- s'il était en troisième ligne, il faudrait avoir trois mots verticaux ayant M en troisième position; ce qui se réalise uniquement avec DDMD, DDMP et le mot manquant. Parmi les mots horizontaux, on en compterait donc au moins deux connus qui ont deux fois la lettre D. Mais seulement PDDM est encore disponible.
-
Il en découle que le mot DDMD est lui aussi horizontal. On va montrer qu'il doit être écrit dans la deuxième ligne:
? ? ? ?
D D M D
? ? ? ?
M P M M
En fait s'il était en première ligne on aurait besoin de deux mots du type D??M pour les colonnes 1 et 4 (et on en a un seulement) et, pour la colonne 3, d'un mot du type M??M, mot qu'on n'a pas; le mot inconnu ne peut donc pas sauver la situation. Analoguement, si DDMD était en troisième position, on aurait besoin de deux mots du type ??DM (on en a un seulement) et d'un mot du type ??MM (on n'en a pas).
-
En essayant de placer DDMP horizontalement, on aboutit vite à une impossibilité. Ce mot est donc vertical, forcément deuxième colonne. Par suite, le placement de DMPM à la troisième ligne donne une impossibilité, donc DMPM va dans la troisième colonne.
? D D ?
D D M D
? M P ?
M P M M
4) Pour le mot DMPP ne reste que la troisième ligne, ce qui force PDPM en quatrième colonne, puis PDDM en première colonne, ce qui fournit PDDP comme mot inconnu, dans la première ligne:
P D D P
D D M D
D M P P
M P M M
Commentaires. Stan Wagon a récemment retrouvé toute une boîte des problèmes de Konhauser, qu'on croyait perdus. Il l'a récemment proposé sur sa page comme Problem of the Week (http://mathforum.org/wagon/). En anglais, avec les lettres P O W (pour Problem Of the Week) plutôt que P D M (pour Problème Du Mois), la solution (POOP) a une saveur scatologique qui est malheureusement (?) intraduisible.
|
