Solution au problème de mars 2010

Le problème:

MP94 Problème de mars 2010 Pour le troisième mois de l'année, nous vous proposons un problème en trois parties: Pouvez-vous trouver deux entiers s et t supérieurs à 1 tels que (ss)2 = tt? Pouvez-vous trouver deux entiers s et t supérieurs à 1 tels que ( ss)2010 = tt? Pouvez-vous trouver deux entiers s et t supérieurs à 1 tels que s(s2010) = tt? La source de notre problème est "Problem of the Week" 1038 (du 26 septembre 2005) de Stan Wagon.  Nous avons reçu des solutions correctes de Bojan Basic (Serbie) Magnus Jakobsson (Suède) Shai Covo (Israël) Wolfgang Kais (Allemagne) Mei-Hui Fang (Autriche) Matthew Lim (États Unis) Philippe Fondanaiche (France) John T. Robinson (États Unis) Cornel Gruian (Roumanie) Jan van Delden (Pays-Bas) Benoît Humbert (France) Ray Van Raamsdonk (Colombie Britannique)

La solution:

Partie a.  Non, il n'existe pas d'entiers s et t supérieurs à  1 tels que (s^s)² = t^t.

Nous reproduisons ici l'argument de Humbert:

''En effet, supposons donnés s et t vérifiant ces conditions. Alors s^s < t^t = s^2s < (2s)^2s, donc s < t < 2s.
D’autre part, s et t admettent les mêmes facteurs premiers. Soit p l’un de ces facteurs premiers, α sa multiplicité dans s et β sa multiplicité dans t. On a : p^2sα = p^tβ, donc 2sα = tβ. Or on vient de montrer que t < 2s. Donc β > α. De même pour les autres facteurs premiers de s et t. Ainsi, t ≥ ps. Or, t < 2s. Contradiction.''

Partie b.  Oui, par exemple s = 1005 et t = 1005².

Plus généralement, pour tout entier n pair, s = n/2 et t = (n/2)² est solution de (s^s)ⁿ = t^t. Cette solution est triviale seulement lorsque n = 2. En fait, pour tout n supérieur à 2, l'équation (s^s)ⁿ = t^t admet une solution avec s, t supérieur à 1: on pose s = (n-1)^n-1 et t = (n-1)ⁿ.

Partie c.  Oui, s = 2009 et t = 2009²⁰⁰⁹.

Plus généralement, pour tout entier n, s = n-1 et t = (n-1)^n-1 est solution de s^(sn) = t^t.

Commentaires.  Notre page anglaise donne plus d'informations sur les travaux de Kais et Lim caractérisant les solutions de ces équations.