Solution au problème de février 2010

Le problème:

MP93 Problème de janvier 2010 Après chaque match, les onze joueurs de l'équipe locale de football se réunissent au bar pour prendre un verre. Ensuite ils roulent deux dés, et le joueur dont le numéro de chandail est la somme des valeurs obtenues paie l'addition. (Ils portent les numéros 2 à 12.) Votre mission du mois est d'apporter un peu de justice à cette opération. Montrez comment on peut piper deux dés, un vert et un rouge, de telle sorte que les onze sommes de 2 à 12 soient équiprobables, ou démontrez que c'est impossible. Nous avons reçu des solutions correctes de Claudio Baiocchi (Italie) Bruce Golfman (Autriche) Bojan Basic (Serbie) Cornel Gruian (Roumanie) Luigi Bernardini (Italie) Benoît Humbert Lou Cairoli (États Unis) David Jackrel (États Unis) Bernard Collignon (France) Magnus Jakobsson (Suède) Shai Covo (Israël) Normand LaLiberté (Ontario) Jan van Delden (Pays-Bas) Matthew Lim (États Unis) Allen Druze (États Unis) Claude Morin (France) Mei-Hui Fang (Autriche) Vincent Pantaloni (France) Philippe Fondanaiche (France) John T. Robinson (États Unis) Tom Fuzesy (Regina) Ray Van Raamsdonk

La solution:

Parmi nos correspondants, on trouve des théoriciens et des pragmatiques. Ces derniers ont cherché des solutions imaginatives au problème des footballeurs, comme par exemple:

1. Limiter les configurations acceptées: Selon Covo, les footballeurs devraient rouler les dés jusqu'à ce qu'un 1 apparaisse sur le dé rouge ou un 6 sur le dé vert, ce qui rend les onze sommes équiprobables.
2. Changer les numéros sur les dés: Selon Laliberté et Collignon, les faces du dé vert devraient porter les numéros 0, 2, 4, 6, 8, 10, et celles du dé rouge les numéros 1 et 2. Les douze sommes de 1 à 12 sont alors équiprobables.  Si on obtient une somme de 1, on doit relancer, ou encore convaincre l'entraineur ou le propriétaire du bar de payer.
3. Changer les numéros et les probabilités sur les dés, et les rouler en succession: Selon Baiocchi, le dé vert doit être pipé de telle sorte que la probabilité de sortie de la  face 1 soit 6/11, la probabilité de sortie des faces 2 à 6 étant 1/11. On lance d'abord le dé vert, et si une des faces 2 à 6 apparaît, le joueur correspondant paie. Si la face 1 apparaît, on lance le dé rouge dont les faces portent les numéros 6 à 11, et le joueur correspondant  à  la somme des valeurs obtenues paie.

Selon les puristes, piper les dés veut dire changer les probabilités d'obtention des faces, sans changer les numéros ou la procédure d'aucune autre façon. Avec ces règles, le problème des footballeurs est insoluble:

Il est impossible d'affecter des probabilités p₁, p₂, ..., p₆ au faces 1 à 6 du de rouge, et des probabilités q₁, q₂, ..., q₆ aux faces 1 à 6 du de vert de facon à rendre les onze sommes équiprobables.

Nos correspondants ont utilisé deux approches pour démontrer ce résultat.

Première approche. Nous reproduisons la solution de Claude Morin.

Soit p_k (resp. q_k) la probabilité d’apparition du chiffre k sur le dé vert (resp. rouge). La probabilité d’obtenir la somme k est égale à ∑_i+j=kp_iq_j avec i et j entre 1 et 6. Introduisons les polynômes

Si les 11 sommes sont équiprobables on obtient:

Cette égalité est impossible car le polynôme x¹¹ −1 n’a qu’une racine réelle, 1, alors que les polynômes P et Q, de degré 5, on chacun au moins une racine réelle.

Deuxième approche. Nous reproduisons la solution de Vincent Pantaloni.