Solution au problème de avril 2009

Le problème:
	Trouver deux entiers a et b tels que ni 7, ni 18 ne divise ab(a+b), alors que 77 divise (a+b)7-a7-b7.

La solution:

Nous avons reçu des solutions correctes de

Notre problème d'avril s'inspirait du problème 2 de la 25ème Olympiade Mathématique Internationale (Prague, 1984).  On trouve l'énoncé original et la solution de Jeremy Kahn dans International Mathematical Olympiads 1978-1985, édité par Murray S. Klamkin (Mathematical Association of America, New Mathematical Library #31, 1986).  La pluspart de nos correspondants nous ont donné une solution générale, mais Doolittle, Kouba, Lim, et Robinson sont allés plus loin et ont trouvé des relations nécessaires et suffisantes entre les entiers a et b:

Notre démonstration combine leurs arguments. Examinons d'abord quelques exemples. Lorsque a = 1; alors k = 0 n'est pas permis (puisque 9 divise 0), mais k = 1 donne b = 361, et k = –1 donne b = –325. Dans ces deux exemples, le quotient est plutôt grand; on obtient un quotient plus raisonnable lorsque a = 20 et k = –1; on a alors b = 17 et .

Démonstration.  En factorisant, on obtient

(a + b)⁷ – a⁷– b⁷ = 7ab(a + b)(a² + ab + b²)².

Ainsi (a + b)⁷ – a⁷– b⁷ est un multiple de 7⁷ lorsque ab(a + b)(a² + ab + b²)² est un multiple de 7⁶.  Et puisque 7 ne divise pas ab(a + b), 7⁶ doit diviser (a² + ab + b²)² et ainsi,

7³ divise a² + ab + b².

Notons que 18 × 19 = 342 = 7³ – 1. La magie de l'arithmétique modulaire permet de factoriser l'expression quadratique modulo 7³ comme suit

a² + ab + b² ≡ a² + ab + (1 – 343)b²
≡ (a + 19b)(a – 18b) ≡ –19(18a – b)(a – 18b) ≡ 0 (mod 7³).

(En d'autres termes, 7³ divise –19(18a – b)(a – 18b), et divise donc (18a – b)(a – 18b).)  Or 7 ne peut diviser à la fois 18a – b et a – 18b, car alors la différence 18a – b – (a – 18b)= 17(a + b) serait un multiple de 7, donc a + b serait un multiple de 7, ce qui contredit la condition selon laquelle 7 ne divise ab(a + b).  Par conséquent, 7³ divise soit 18a – b, soit a – 18b, mais pas les deux. Par symétrie, on peut supposer que 7³ = 343 divise 18a – b. Notons b = 18a + 343k. Alors la condition stipulant que 7 ne divise pas ab(a + b) = a(18a + 343k)(19a + 343k) ≡ 6a (mod 7) se réduit à 7 ne divise pas a.
            Examinons la deuxième condition, selon la quelle 18 ne divise pas ab(a + b). Puisque le produit est nécéssairement pair, celle-si se réduit à 9 ne divise pas ab(a + b).  Avec b = 18a + 343k ≡ k (mod 9), on a

ab(a + b) ≡ ak(a + k)  (mod 9),

donc 18 divise ab(a + b) si et seulement si 9 divise ak(a + k), ce qui complète la démonstration.

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