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Solution au problème de avril 2009

Le problème:
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Trouver deux entiers a et b tels que ni 7, ni 18 ne divise ab(a+b), alors que 77 divise (a+b)7-a7-b7.

La solution:

Nous avons reçu des solutions correctes de


Bojan Basic (Serbie)

Tarik Kaced (France)

Ruban Victor Cohen (Argentine)

Omran Kouba (Syrie)

Bernard Collignon (France)

Matthew Lim (États-Unis)

Allen Druze (États-Unis)

Benjamin Louradour (France)

Sébastien Dumortier (France)

Pavan Manjunath (Inde)

Philippe Fondanaiche (France)

John T. Robinson (États-Unis)

Cornel Gruian (Roumanie)

Albert Stadler (Suisse)

Edward Doolittle (Regina)  

Notre problème d'avril s'inspirait du problème 2 de la 25ème Olympiade Mathématique Internationale (Prague, 1984).  On trouve l'énoncé original et la solution de Jeremy Kahn dans International Mathematical Olympiads 1978-1985, édité par Murray S. Klamkin (Mathematical Association of America, New Mathematical Library #31, 1986).  La pluspart de nos correspondants nous ont donné une solution générale, mais Doolittle, Kouba, Lim, et Robinson sont allés plus loin et ont trouvé des relations nécessaires et suffisantes entre les entiers a et b:

  1. 77 divise (a + b)7a7b7 mais ni 7 ni 18 ne divise ab(a + b) est équivalent à

  2. b = 18a + 343k,a et k sont des entiers tels que 7 ne divise pas a et 9 ne divise pas ak(a + k); ou bien cette condition est valide lorsque les rôles de a et b sont interchangés.

Notre démonstration combine leurs arguments. Examinons d'abord quelques exemples. Lorsque a = 1; alors k = 0 n'est pas permis (puisque 9 divise 0), mais k = 1 donne b = 361, et k = –1 donne b = –325. Dans ces deux exemples, le quotienteqn 1 est plutôt grand; on obtient un quotient plus raisonnable lorsque a = 20 et k = –1; on a alors b = 17 et eqn 2.

Démonstration.  En factorisant, on obtient

(a + b)7a7b7 = 7ab(a + b)(a2 + ab + b2)2.

Ainsi (a + b)7a7b7 est un multiple de 77 lorsque ab(a + b)(a2 + ab + b2)2 est un multiple de 76.  Et puisque 7 ne divise pas ab(a + b), 76 doit diviser (a2 + ab + b2)2 et ainsi,

73 divise a2 + ab + b2.

Notons que 18 × 19 = 342 = 73 – 1. La magie de l'arithmétique modulaire permet de factoriser l'expression quadratique modulo 73 comme suit

a2 + ab + b2 a2 + ab + (1 – 343)b2
≡ (a + 19b)(a – 18b) ≡ –19(18ab)(a – 18b) ≡ 0 (mod 73).

(En d'autres termes, 73 divise –19(18ab)(a – 18b), et divise donc (18ab)(a – 18b).)  Or 7 ne peut diviser à la fois 18ab et a – 18b, car alors la différence 18ab – (a – 18b)= 17(a + b) serait un multiple de 7, donc a + b serait un multiple de 7, ce qui contredit la condition selon laquelle 7 ne divise ab(a + b).  Par conséquent, 73 divise soit 18ab, soit a – 18b, mais pas les deux. Par symétrie, on peut supposer que 73 = 343 divise 18ab. Notons b = 18a + 343k. Alors la condition stipulant que 7 ne divise pas ab(a + b) = a(18a + 343k)(19a + 343k) ≡ 6a (mod 7) se réduit à 7 ne divise pas a.
            Examinons la deuxième condition, selon la quelle 18 ne divise pas ab(a + b). Puisque le produit est nécéssairement pair, celle-si se réduit à 9 ne divise pas ab(a + b).  Avec b = 18a + 343k k (mod 9), on a

ab(a + b)ak(a + k)  (mod 9),

donc 18 divise ab(a + b) si et seulement si 9 divise ak(a + k), ce qui complète la démonstration.

D'autres commentaires sont disponibles sur notre page anglaise.


 

 


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