Solution au problème d'octobre 2007

Le problème:

Un cercle de centre O et de 1 cm de rayon roule à l'intérieur d'un triangle dont les côtés mesurent 6, 8 et 10 cm respectivement, en longeant les côtés. Quelle distance O parcourt-il en un circuit complet?

Nous avons pris ce problème d'une liste de problèmes du séminaire de concours mathématiques de Waterloo de 2002. Nous avons reçu des solutions correctes de

Solution.  Nos correspondants ont d'abord observé que le centre O décrit un triangle dont les côtés sont parallèles au triangle original. Le problème se réduit alors à trouver le rapport d'homothétie entre ABC et A'B'C'. Nos correspondants ont utilisé plusieurs méthodes intéressantes pour démontrer que ce rapport est ½, donc la distance parcourue par O est la moitié du périmètre du grand triangle, soit ½(6 + 8 + 10) = 12.  Voici quelques unes de leurs solutions.

Méthode 1.  Nous reproduisons ici la version de Mertzeisen de la solution la plus populaire.

Les droites définies par les paires de sommets homologues des deux triangles sont (évidemment?) les bissectrices des angles du triangle ABC. Soit I le centre du cercle inscrit. Les côtés des deux triangles étant respectivement parallèles, I est centre d'une homothétie transformant le grand en le petit.

Méthode 2

(Billion). 

Calculons le rayon r du cercle inscrit dans un triangle ABC rectangle en C.

En considérant les médiatrices et les normales aux cotés passant par le centre du cercle inscrit on constate que AB = ( AC – r ) + ( BC – r ) donc r = ( AC + BC – AB ) / 2

Le centre du cercle de rayon 1 cm décrit un triangle dont les côtés sont parallèles aux côtés du triangle ABC et dont les sommets se trouvent sur les médiatrices du triangle ABC.

Ces deux triangles sont semblables et en appliquant le théorème de Thalès on peux calculer le rapport d’homothétie entre ces deux triangle et donc entre les deux périmètres : (r-1) / r.

Ici,  r = (8+6-10)/2 = 2 cm et distance parcourue par O est (10+6+8)*[(2-1)/2] = 12 cm

Méthode 3.  Cinq des solutions utilisaient la trigonométrie, comme par exemple celle de Normand Laliberté.

La distance parcourue en un circuit complet est de 12 cm.

Observons que:

Comme 6² + 8² = 10², le triangle ABC est rectangle en C; AB = 10, BC = 6, AC = 8.

Le circuit décrit par le cercle O est constamment parallèle à, et à distance 1, de chacun des côtés de ABC tour à tour; il forme donc un triangle DEF semblable à ABC, rectangle en F.

Comme E est à distance 1 des côtés AB et BC, la ligne BE est bissectrice de l'angle ABC que nous dénotons B.

Nous avons:

cos B = 6 / 10 = 3 / 5

Soit la formule de linéarisation

tan² a = (1 – cos 2a) / (1 + cos 2a)

Nous obtenons pour l'angle a = B/2:

tan² B/2 = (1 – 3/5) / (1 + 3/5) = 1/4

D'où:

tan B/2 = 1/2

Soit G la projection orthogonale de BB' sur BC; nous avons B'G = 1

Soit H la projection orthogonale de BF sur BC; nous avons FH = CH = 1

D'où:

EG / BG = tan B/2 = 1/2

Comme EG = 1, nous obtenons BG = 2.

Mais:

6 = BC = BG + GH + HC = 2 + GH + 1

D'où:

GH = EF = 3

Comme ABC et DEF sont semblables, il s'en suit que DF = 4, DE = 5. Donc le périmètre de DEF –le parcours du cercle O- est 12.

QED