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Solution au problème de mai 2008
| Le problème: |
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Pour quels entiers positifs n peut-on écrire n!
comme différence de deux carrés? |
La solution:
Nous avons reçu des solutions correctes de
Felix Arnaiz Lanzo (Espagne) |
Xavier Hecquet (France) |
Jose Arraiz (Brésil)
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Jeff Heleen (États-Unis) |
Guillaume Baraston (France)
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Wolfgang Kais
(Allemagne) |
Bojan Basic (Serbie)
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Michael Kozdron (Regina) |
Luigi Bernardini
(Italie)
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Normand
LaLiberté (Ontario) |
Gérard
Billion (France)
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Farid Lian
Martínez (Colombie) |
Lou Cairoli
(États-Unis)
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Matthew Lim
(États-Unis) |
John Campbell
(Alberta)
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Jean-Luc Luyet
(Suisse)
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Olivier Cyr (France)
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Jacques Mertzeisen
(France)
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Dan Dima (Roumanie)
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Minghua Lin (Chine)
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Sébastien
Dumortier (France)
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Giovanni Parzanese
(Italie)
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Eiden, Jean-Denis
(France)
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John T. Robinson (États-Unis)
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Philippe Fondanaiche
(France)
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K. Sengupta (Inde)
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| Cyndy Franz
(Internet) |
A. Teitelman (Israël)
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Nous sommes très heureux d'avoir un premier correspondant
francophone du Brésil. Nous reproduisons ici la solution de Jose
Arraiz.
"Il s’agit de trouver des solutions entières à
l’équation: a2 - b2 = n!, cette
équation peut
s’écrire (a + b) × (a - b)=n!
n! est toujours pair (sauf si n=1) donc (a+b) et
(a-b) doivent être pairs tous les deux.
Les diviseurs de n! (2, 3, 4, …n)
peuvent
toujours se réarranger, de plusieurs manières, pour que
leur produit forme
deux nombres X et Y tels que X × Y = n!, si n ≥ 4 ce regroupement peut
toujours se faire de
façon à ce que X et Y soient tous deux pairs, pour résoudre
le problème il
suffit donc de résoudre le système:
a + b = X
et
a - b = Y
d’où a et b et les solutions de
a2 - b2 = n!
n! peut donc se représenter comme la difference de
deux carrés, et ceci de plusieurs façons, pour tout
n ≥ 4.''
Commentaires La solution d'Arraiz montre en fait que le nombre de solutions
entières à
l’équation: a2 - b2 = n! croît
rapidement avec n. Plusieurs correspondants se sont contentés
d'indiquer la solution "canonique'', comme Luyet dans sa carte postale.
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