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Solution au problème de mars 2008
| Le problème: |
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Les quatre mousquetaires
Athos, Bragelonne, Cyrano et Dartagnan gagneront un prix s'ils
réussissent tous une épreuve: On les mènera un par
un dans une chambre où il y a quatre rideaux. Derrière
chaque rideau se trouve une carte marquée d'une des lettres A,
B, C, D; chaque lettre apparaît sur une seule carte. Chaque
mousquetaire pourra regarder derrière deux rideaux; s'il y
trouve la carte portant la première lettre de son nom, il
réussit, et si les quatre réussissent, le groupe gagne.
Par contre si un mousquetaire échoue, le groupe perd.
Les mousquetaires ne
pourront pas communiquer entre eux au cours de l'épreuve. Par
contre, avant de commencer ils peuvent s'entendre sur une
stratégie à adopter pour maximiser leurs chances. Par
exemple, si chaque mousquetaire regarde derrière deux rideaux
choisis au hasard, chacun a une chance sur deux de réussir, et
le groupe a une chance sur seize de gagner. Il est possible de faire
beaucoup mieux; votre tâche est de trouver une stratégie
qui donne aux mousquetaires plus de 40% des chances de gagner.
Nous avons trouvé ce probleme dans un journal de
la Casualty Actuarial
Society, qui ne mentionne pas sa source. Celle-ci nous a
été communiquée par Philippe Fondanaiche: Il
s'agit d'un puzzle créé par l'informaticien Danois Peter
Bro
Miltersen, (voir Science News
Online www.sciencenews.org/articles/20060819/mathtrek.asp),
puis popularisé par Peter Winkler. Il paraîtra dans le
second volume de Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection (A.K.
Peters). Nous avons reçu des solutions correctes de
Bojan Basic (Serbie) |
Jacques Mertzeisen (France) |
Gérard Billion (France) |
John T. Robinson (États-Unis) |
Lou Cairoli (États-Unis) |
A. Teitelman
(Israël) |
Philippe Fondanaiche (France)
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La solution:
Nous reproduisons ici la solution de Jacques Mertzeisen.
La stratégie des
mousquetaires
On
admettra que les mousquetaires connaissent la disposition des rideaux
ou que cette disposition est assez simple pour qu’ils puissent se
mettre d’accord sur une numérotation 1, 2, 3, 4 par exemple
de gauche à droite de ces rideaux.
Il semble assez
évident que
les mousquetaires ont intérêt a recueillir un maximum
d’information à l’ouverture de leur premier rideau, puis
à
l’exploiter pour l’ouverture du deuxième. Voici donc leur
stratégie :
Les
mousquetaires définissent ensemble une bijection B de {A ; B ; C ; D} vers
{1 ; 2 ; 3 ; 4}, par exemple l’ordre alphabétique* (A;1) (B;2) etc. Pour
son premier essai, chaque mousquetaire ouvrira le rideau B(x) où x est l’initiale de son nom. S’il gagne, il se frisera la
moustache. S'il perd, il ouvrira pour son
deuxième essai le rideau B(y) où y est la valeur de la carte qu’il a trouvée derrière le
premier rideau.
Avec
cette stratégie les mousquetaires gagnent dans 10 cas sur 24,
c’est à dire avec une probabilité d’environ 41,7%.
Les
cas favorables sont toutes les permutations de (A,B,C,D)** de période inférieure ou égale à 2. Voir
tableau exhaustif ci dessous : les orbites sont en couleurs.
1 |
2 |
3 |
4 |
issue |
A |
B |
C |
D |
Gagne |
A |
B |
D |
C |
Gagne |
A |
C |
B |
D |
Gagne |
A |
C |
D |
B |
Perd |
A |
D |
B |
C |
Perd |
A |
D |
C |
B |
Gagne |
B |
A |
C |
D |
Gagne |
B |
A |
D |
C |
Gagne |
B |
C |
A |
D |
Perd |
B |
C |
D |
A |
Perd |
B |
D |
A |
C |
Perd |
B |
D |
C |
A |
Perd |
C |
A |
B |
D |
Perd |
C |
A |
D |
B |
Perd |
C |
B |
A |
D |
Gagne |
C |
B |
D |
A |
Perd |
C |
D |
A |
B |
Gagne |
C |
D |
B |
A |
Perd |
D |
A |
B |
C |
Perd |
D |
A |
C |
B |
Perd |
D |
B |
A |
C |
Perd |
D |
B |
C |
A |
Gagne |
D |
C |
A |
B |
Perd |
D |
C |
B |
A |
Gagne |
* Si les
mousquetaires pensent que l’encodeur est un malin qui cherchera
à les piéger, se doutant bien qu’ils sauront trouver
cette stratégie, ils auront intérêt à
choisir une autre bijection de référence…
** ou (B-1 (1) ; B-1 (2) ; B-1 (3) ; B-1 (4)), plus généralement.
Commentaires Notre page anglaise comporte plus d'information sur les variantes de ce
jeu, où le nombre de mousquetaires et de rideaux à
choisir varie.
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