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Solution au problème de mars 2008

Le problème:
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Les quatre mousquetaires Athos, Bragelonne, Cyrano et Dartagnan gagneront un prix s'ils réussissent tous une épreuve: On les mènera un par un dans une chambre où il y a quatre rideaux. Derrière chaque rideau se trouve une carte marquée d'une des lettres A, B, C, D; chaque lettre apparaît sur une seule carte. Chaque mousquetaire pourra regarder derrière deux rideaux; s'il y trouve la carte portant la première lettre de son nom, il réussit, et si les quatre réussissent, le groupe gagne. Par contre si un mousquetaire échoue, le groupe perd.

Les mousquetaires ne pourront pas communiquer entre eux au cours de l'épreuve. Par contre, avant de commencer ils peuvent s'entendre sur une stratégie à adopter pour maximiser leurs chances. Par exemple, si chaque mousquetaire regarde derrière deux rideaux choisis au hasard, chacun a une chance sur deux de réussir, et le groupe a une chance sur seize de gagner. Il est possible de faire beaucoup mieux; votre tâche est de trouver une stratégie qui donne aux mousquetaires plus de 40% des chances de gagner.

Nous avons trouvé ce probleme dans un journal de la Casualty Actuarial Society, qui ne mentionne pas sa source. Celle-ci nous a été communiquée par Philippe Fondanaiche: Il s'agit d'un puzzle créé par l'informaticien Danois Peter Bro Miltersen, (voir Science News Online www.sciencenews.org/articles/20060819/mathtrek.asp), puis popularisé par Peter Winkler. Il paraîtra dans le second volume de Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection (A.K. Peters). Nous avons reçu des solutions correctes de

Bojan Basic (Serbie)

Jacques Mertzeisen (France)

Gérard Billion (France)

John T. Robinson (États-Unis)

Lou Cairoli (États-Unis)

A. Teitelman (Israël)

Philippe Fondanaiche (France)


La solution:

Nous reproduisons ici la solution de Jacques Mertzeisen.

La stratégie des mousquetaires

On admettra que les mousquetaires connaissent la disposition des rideaux ou que cette disposition est assez simple pour qu’ils puissent se mettre d’accord sur une numérotation 1, 2, 3, 4 par exemple de gauche à droite de ces rideaux.

Il semble assez évident que les mousquetaires ont intérêt a recueillir un maximum d’information à l’ouverture de leur premier rideau, puis à l’exploiter pour l’ouverture du deuxième. Voici donc leur stratégie :

Les mousquetaires définissent ensemble une bijection B de {A ; B ; C ; D} vers {1 ; 2 ; 3 ; 4}, par exemple l’ordre alphabétique* (A;1) (B;2) etc. Pour son premier essai, chaque mousquetaire ouvrira le rideau B(x)x est l’initiale de son nom. S’il gagne, il se frisera la moustache. S'il perd, il ouvrira pour son deuxième essai le rideau B(y)y est la valeur de la carte qu’il a trouvée derrière le premier rideau.

Avec cette stratégie les mousquetaires gagnent dans 10 cas sur 24, c’est à dire avec une probabilité d’environ 41,7%.

Les cas favorables sont toutes les permutations de (A,B,C,D)** de période inférieure ou égale à 2. Voir tableau exhaustif ci dessous : les orbites sont en couleurs.

1

2

3

4

issue

A

B

C

D

Gagne

A

B

D

C

Gagne

A

C

B

D

Gagne

A

C

D

B

Perd

A

D

B

C

Perd

A

D

C

B

Gagne

B

A

C

D

Gagne

B

A

D

C

Gagne

B

C

A

D

Perd

B

C

D

A

Perd

B

D

A

C

Perd

B

D

C

A

Perd

C

A

B

D

Perd

C

A

D

B

Perd

C

B

A

D

Gagne

C

B

D

A

Perd

C

D

A

B

Gagne

C

D

B

A

Perd

D

A

B

C

Perd

D

A

C

B

Perd

D

B

A

C

Perd

D

B

C

A

Gagne

D

C

A

B

Perd

D

C

B

A

Gagne


* Si les mousquetaires pensent que l’encodeur est un malin qui cherchera à les piéger, se doutant bien qu’ils sauront trouver cette stratégie, ils auront intérêt à choisir une autre bijection de référence…
** ou (B-1 (1) ; B-1 (2) ; B-1 (3) ; B-1 (4)), plus généralement.

Commentaires Notre page anglaise comporte plus d'information sur les variantes de ce jeu, où le nombre de mousquetaires et de rideaux à choisir varie.




 

 


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