Pour l'été, le Problème du Mois vous offre sa version de la suite d'un conte bien connu.

     La lecture du testament permit aux sept frères de se revoir et de se rappeler leur enfance. De bons souvenirs, bien sûr, mais aussi de mauvais souvenirs, des histoires
terribles. Une année de grande famine, leurs parents les avaient conduits dans la forêt pour les perdre, et ils avaient retrouvé leur chemin seulement grâce aux cailloux que le plus jeune d'entre eux avait semés en chemin. Une autre fois, ils avaient dû se sauver d'un ogre qui les poursuivait avec des bottes de sept lieues.

     Maintenant, leurs parents étaient décédés, leur léguant bien sûr leur bonne vieille maison dans les bois. Mais, chose surprenante, le testament révélait aussi que dans la cave, ils trouveraient un coffre verrouillé dont la clef se trouvait sous le seau à charbon. Dans le coffre se trouvait le trésor que leurs parents avaient gardé pour eux.

     Les sept frères filèrent donc à la cave de la vieille maison. Lorsqu'ils soulevèrent le seau à charbon, un déclic se fit entendre, puis un bruit d'engrenage, et une porte se referma derrière eux. C'était une lourde porte avec une étrange serrure à combinaison, constituée de neuf roulettes numérotées disposées en carré trois par trois. Ils étaient prisonniers dans la cave. Par contre, la clef était bien sous le seau à charbon. Le coffre s'ouvrit en grincant, un rat en sortit, et les sept frères découvrirent qu'il ne contenait rien qu'une lettre et un vieux bout de papier rongé par le rat. La lettre était le dernier message de leurs parents:

     Les frères se précipitèrent vers le coffre pour en retirer le bout de papier. Avec horreur ils découvrirent que le rat avait grignoté le coin du bas à gauche du puzzle dont dépendait leur survie.

     Fort heureusement, ils étaient tous très fort en sudoku, et réussissaient le puzzle du journal tous les dimanches. Ils copièrent donc le puzzle en sept exemplaires, en se
disant qu'au moins un d'entre eux arriverait à le résoudre malgré le coin manquant. Le plus jeune était habituellement le plus vif, mais en cette occasion il se révéla
étrangement méditatif, inscrivant quelques chiffres puis s'interrompant pour de longues réflexions, alors que ses frères scribouillaient comme des damnés.

     Quelques minutes plus tard, les six posèrent leur plume en s'écriant "je l'ai!''. Mais en comparant leurs solutions ils s'aperçurent qu'elles étaient toutes différentes.
Chacune avait les chiffres 1 à 9 apparaissant une et une seule fois dans chaque ligne, chaque colonne et chaque carré 3 par 3, mais l'apétit du rat ayant complètement détruit le coin du bas à gauche, il était impossible de dire laquelle de leurs solutions
était la bonne. "Bon, ça y est'' se dirent-ils, "nous sommes cuits'' et ils éclatèrent en sanglots.

     Un peu plus tard, au millieu des pleurs et des cris, une petite voix s'écria soudain "je l'ai''. C'était le plus jeune, que ses six frères avaient oublié. Sa solution était différente de toutes les leurs, mais il affirmait que c'était la bonne. Que faire? C'était le plus jeune, le plus brillant, ils s'étaient maintes fois fiés à son jugement et c'est d'ailleurs ce qui leur avait permis de survivre à leur enfance. Ils réglèrent donc les roulettes de la serrure selon le carré central de la solution de leur petit frère, tirèrent la poignée et ···

Chers lecteurs, nous interrompons ici notre récit, et nous vous souhaitons un bon été. Nous publierons la fin en septembre. Si vous devinez la fin, vous pouvez nous l'envoyer au Problème du Mois, avec une justification complète.

Pour quels entiers positifs n peut-on écrire n! comme différence de deux carrés?

Soit a, b et c, des entiers positifs dont le seul diviseur commun est 1 (aucun entier supérieur à 1 ne divise les trois). Démontrez que si

alors (a + b), (a – c) et (b – c) sont des carrés parfaits.

Les quatre mousquetaires Athos, Bragelonne, Cyrano et Dartagnan gagneront un prix s'ils réussissent tous une épreuve: On les mènera un par un dans une chambre où il y a quatre rideaux. Derrière chaque rideau se trouve une carte marquée d'une des lettres A, B, C, D; chaque lettre apparaît sur une seule carte. Chaque mousquetaire pourra regarder derrière deux rideaux; s'il y trouve la carte portant la première lettre de son nom, il réussit, et si les quatre réussissent, le groupe gagne. Par contre si un mousquetaire échoue, le groupe perd.

Les mousquetaires ne pourront pas communiquer entre eux au cours de l'épreuve. Par contre, avant de commencer ils peuvent s'entendre sur une stratégie à adopter pour maximiser leurs chances. Par exemple, si chaque mousquetaire regarde derrière deux rideaux choisis au hasard, chacun a une chance sur deux de réussir, et le groupe a une chance sur seize de gagner. Il est possible de faire beaucoup mieux; votre tâche est de trouver une stratégie qui donne aux mousquetaires plus de 40% des chances de gagner.

Un plan vertical contient un cercle et un point P situé à l'extérieur du cercle et au dessus de la ligne horizontale sur laquelle celui-ci repose. Votre mission est de tendre un fil en ligne droite de P à un point Q sur le cercle, de telle sorte qu'un écrou glissant sur le fil atteigne le cercle le plus rapidement possible. La seule force agissant sur l'écrou est la gravité. Le chemin le plus court suit un fil qui relie P au centre du cercle, et le chemin le plus à pic est tangent au cercle. Entre les deux se trouve un chemin qui combine de façon optimale la distance et la vitesse, et votre tâche est de le trouver.
Quelques souvenirs du collège vous seront utile:

1. Selon Newton, la relation au temps t entre la distance s et la vitesse v d'un écrou soumis à une accélération constante est s = ¹/₂ vt.
   
   
2. Si m est la masse de l'écrou, g la constante de gravité et h la composante verticale de la distance de P à Q, alors l'énergie potentielle mgh de l'écrou au point P vaut ¹/₂ mv², où v est sa vitesse au point Q.
   
   
3. Bien sûr, on ignore la friction de l'air et du fil.

Quels sont les entiers positifs n tels que

                

Pour le temps des fêtes, nous vous proposons un tour de magie pour épater tous vos parents et amis qui recevront une pitonneuse en cadeau. (Note pour nos correspondants internationaux: "pitonneuse'' est un terme canadien qui désigne une calculatrice de poche.)

1. Dites leur de choisir un nombre, n'importe quel nombre entre 1 et 1000.
   Appelons le N.
   
   
2. Demandez leur ensuite de pitonner 1 plus 1/N plus le double de la racine
   carrée de 1/N, d'extraire la racine carrée du résultat et de la mettre en mémoire
   en appuyant sur le bouton M+.
   
   
3. Puis demandez leur de pitonner 1 plus 1/N moins le double de la racine
   carrée de 1/N, d'extraire la racine carrée du résultat et de l'ajouter en mémoire
   en appuyant sur le bouton M+.
   
   

4. Enfin, demandez leur d'extraire le résultat en mémoire en appuyant sur le
   bouton MR. (Ce résultat est bien sûr la somme des racines calculées aux
   étapes 2 et 3). En même temps, sortez une enveloppe scellée de votre poche et
   dites leur de l'ouvrir. Lorsqu'ils verront le nombre à l'intérieur, dites leur

   "C'est le nombre que vous avez obtenu, non?''

Bien sûr, vous devez préparer l'enveloppe scellée à l'avance. Notre problème
du mois est:

Quel nombre magique devrez vous mettre à l'intérieur,
et pourquoi est-ce que ça marche?

Démontrez que pour tout n, on peut partitionner les entiers 1, 2, 3, ..., 2n-1, 2n en paires

{a₁, b₁}, {a₂, b₂}, ... , {a_n, b_n}

telles que a_i + b_i est premier pour tout i.

Un cercle de centre O et de 1 cm de rayon roule à l'intérieur d'un triangle dont les côtés mesurent 6, 8 et 10 cm respectivement, en longeant les côtés. Quelle distance O parcourt-il en un circuit complet?

Six points sont disposés de telle sorte que les longueurs des quinze segments qui les relient deux à deux sont toutes différentes, et qu'aucun segment passe par trois de ces points. Démontrez  qu'un de ces segments est en même temps le plus long côté d'un des triangles formés par les six points, et le plus court côté d'un autre triangle.

Peut-on obtenir la même conclusion à partir de cinq points plutôt que six?