Le nombre 5x7³⁴ a beaucoup de chiffres dans son développement décimal. Sans calculer tout ce développement, démontrez qu'un chiffre y apparait au moins quatre fois.

            Nous avons reçu des solutions correctes de 

Gérard Billion (France)		Farid Lian (Colombie)
Dan Dima (Roumanie)		Marc Lichtenberg (France)
Lou Cairoli (États-Unis)		Matthew Lim (États-Unis)
Philippe Fondanaiche (France)		Jean-Luc Luyet (Suisse)
H.N. Gupta (Regina)		Mark Pilloff (États-Unis)
Xavier Hecquet (France)		Heri Setiyawan (Indonésie)
Wolfgang Kais (Allemagne)		Jayavel Sounderpandian (internet)
Steve La Rocque (Regina)		William Volterman (Ontario)

Solution. Comme nous sommes ravis d'avoir un premier correspondant Suisse, nous reproduisons ici la solution de Jean-Luc Luyet:

         Si on calcule log(5 x 7³⁴), on obtient:

Ce qui est important, c'est que ce logarithme est plus grand que 29  (et plus petit que 30). Le nombre 5 x 7³⁴ est donc plus grand que 10²⁹  car le logarithme est une fonction croissante. Or 10²⁹ commence par  le chiffre 1 et est suivi de 29 chiffres zéros. Donc 5 x 7³⁴ est  composé de exactement 30 chiffres. (Il ne peut pas être composé de  plus de 30 chiffres, sinon le logarithme serait plus grand que 30).

Comme il n'y a que dix chiffres à disposition, nous avons deux possibilités:

Soit tous les chiffres apparaissent exactement 3 fois, ou alors au  moins un chiffre apparaît 4 fois.

Supposons que tous les chiffres apparaissent exactement 3 fois. La  somme des chiffres est donc un multiple de 3, ce qui est un critère de  divisibilité par 3 bien connu. Le nombre 5 x 7³⁴ serait divisible par  3. Mais ceci est évidemment impossible puisqu'il nous est donné par sa  décomposition en nombres premiers qui ne contient aucun facteur 3. (La  décomposition en nombres premiers est évidemment unique à l'ordre des facteurs près).

Nous devons donc exclure la possibilité que tous les chiffres  apparaissent exactement 3 fois, il y a alors obligatoirement au moins un chiffre qui apparaît 4 fois.

Commentaires: L'approche moderne est de calculer 5 x 7³⁴ en 0.003 secondes sur son ordinateur:

 5 x 7³⁴ = 270584780189760558344798304245

et de compter les chiffres: le 4 et le 8 y apparaissent cinq fois! Par contre, cette approche déplait aux puristes; en fait, Dima, Hecquet, et Gupta ont même évité l'emploi de la calculatrice pour une estimation du nombre de chiffres de 5 x 7³⁴. Hecquet démontre ainsi que 5 x 7³⁴ a au moins 30 chiffres:

"En remarquant que 7³=343, on en déduit que 7⁶ = 7³ x 7³ =343 x 343 > 300 x 333.3333…=10⁵. Donc 5 x 7³⁴ = 5 x (7⁶)⁵ x 7⁴ > (10⁵)⁵ x 7⁴  5 = 10²⁵ x 35 x 7³, et comme 35 x 7³ = 35 x 343 > 30 x 333.3333, on déduit que 5 x 7⁴ > 10⁴, et donc que 5 x 7³⁴ > 10²⁹''

Évidemment, si 5 x 7³⁴ avait plus de 30 chiffres, on conclurerait directement selon le principe des tiroirs de Dirichlet qu'un chiffre est répété au moins quatre fois. C'est l'analyse du cas extrémal (ici vérifié) qui donne lieu au bel argument mathématique ci-haut.

Notre page anglaise donne la démonstration de Gupta de l'inégalité plus générale

10^{10n — 1} < 5·7^{12n – 2}.

En particulier, pour n = 1, l'inégalité 10⁹ < 5·7¹⁰ implique qu'un des chiffres de 5·7¹⁰ est répété au moins deux fois, pour n = 2, l'inégalité 10¹⁹ < 5·7²² implique qu'un des chiffres de 5·7²² est répété au moins trois fois, et ainsi de suite jusqu'à n = 7; ensuite l'estimé n'est plus suffisant pour donner un résultat non-trivial.

Notons finalement que comme (1+2+3+4+5+6+7+8+9) est en fait un multiple de 9, et 29 < log(k x 7³⁴) < 30 pour 2 ≤ k ≤ 8, les nombres 2 x 7³⁴, 3 x 7³⁴, ..., 8 x 7³⁴ ont chacun un chiffre répété au moins quatre fois.