Pour quels entiers positifs n a-t-on

pour tout réel x ≥ n?

Deux points d'une sphère sont dit 'orthogonaux' si les segments qui les relient au centre de la sphère sont perpendiculaires. Par exemple, le pôle Nord est orthogonal à tous les points de l'équateur. Quel est le nombre minimal de couleurs requis pour colorier la sphere de telle sorte qu'il n'existe aucune paire de points orthogonaux de la même couleur?

Démontrez qu'il existe une infinité de nombres N tels que
            (i) N est divisible par la somme de ses chiffres, et
            (ii) aucun des chiffres de N est zéro.

Pour Noël, Sophie et Sally ont reçu chacune un casse-tête chinois. Celui de Sophie est une grille 10 par 10 qu'on doit remplir avec un certain nombre de pièces de dimensions 1 par 4 et d'autres pièces de dimensions 2 par 2. Celui de Sally est aussi une grille 10 par 10 qu'on doit remplir avec un certain nombre de pièces 1 par 4 et d'autres pièces de dimensions 2 par 2. Sophie a complété son casse-tête en 2 minutes et 30 secondes, et Sally a complété le sien en 4 minutes. Puis, elles ont échangé leurs casse-têtes, Sophie a complété celui de Sally en 4 minutes et 20 secondes alors que Sally complétait celui de Sophie en 3 minutes et 12 secondes. Puis, elles sont revenues chacune à son casse-tête original, mais Sophie a donné une pièce 1 par 4 à Sally, qui lui a donné en échange une pièce 2 par 2. Notre question: Combien de temps chacune va-t-elle maintenant prendre pour compléter son casse-tête?

Le nombre 5x7³⁴ a beaucoup de chiffres dans son développement décimal. Sans calculer tout ce développement, démontrez qu'un chiffre y apparait au moins quatre fois.

Pour le temps des fêtes, le problème du mois vous propose un tour de magie pour les réunions familliales, qui ne nécessite aucun entrainement, et qui devrait ne laisser personne indifférent. Il suffit d'avoir une table de cuisine et 45 pièces de monnaie.

Vous placez les 45 pièces sur la table et vous vous bandez les yeux, puis vous demandez à un volontaire de répartir les pièces en autant de piles qu'il veut. Il peut par exemple faire une pile de 24 pièces, une pile de 20 pièces et une pile de une pièce. Dites-lui de prendre une pièce de chaque pile pour faire une nouvelle pile. (Ce qui donne, dans notre exemple, une pile de 3 pièces en plus des piles de 23 et 19 pièces qui restent.) Dites lui maintenant de répéter le processus, c'est-à-dire de prendre une pièce de chaque pile (y compris la nouvelle) pour former une nouvelle pile. (Ce qui donne des piles de 22, 18, 3 et 2 pièces dans notre exemple.) Demandez-lui de répéter le processus plusieurs fois de suite, pendant que vous allez bavarder avec tante Ursule au salon.Revenez dans la cuisine au bout d'une bonne vingtaine de minutes, les yeux toujours bandés (faites attention de ne pas vous cogner aux meubles), et annoncez à votre volontaire qu'il a maintenant neuf piles comprenant respectivement 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9 pièces.

Notre question du mois: Démontrez que ce tour fonctionne toujours.

Partant de deux réels positifs a₀ et a₁, on définit une suite infinie dont les termes satisfonta_n+1 a_n-1 = a_n + 1. Démontrez que a_{n+ 5} = a_n pour tout n.

Votre mission est de transformer

x² + 10 x + 20 en x² + 20 x + 10

en au plus 50 étapes. À chaque étape vous pouvez ajouter ou soustraire 1, du coefficient de x ou bien du terme constant (pas les deux en même temps).

De plus, aucun des polynômes intermédiaires de doit admettre une factorisation de la forme (x+m)(x+n), où m et n sont entiers.

Par exemple, on ne peut changer le 10 en 9 à la première étape, parce que x² + 9x + 20 = (x+5)(x+4).

1. Quinze chaises sont disposées régulièrement autour d'une table, chacune devant la carte d'identification d'un des quinze délégués. Cependant, les délégués ne remarquent pas les cartes d'identification avant de s'asseoir, et en fait aucun d'entre eux ne s'assoit devant la carte portant son nom. Démontrez qu'il est possible de tourner la table de sorte qu'au moins deux délégués soient assis à la bonne place.
   
   
2. Donnez un exemple d'un arrangement où seulement un des délégués est à la bonne place, et aucune des rotations ne permet de placer correctement plus d'un délégué