Notre premier problème de l'année porte sur les nombres. En guise de réchauffement, vous pouvez commencer par démontrer que pour tout nombre n impair, (4ⁿ + 1) est un multiple de 5. Notre question est la suivante:

Démontrez que pour tout entier n impair et supérieur à 3, est un nombre composé.

Nous avons reçu des solutions correctes (sauf pour quelques erreurs de détail dues aux excès de l'été) de

Démonstration du fait que 4ⁿ + 1 est un multiple de 5 lorsque n est impair.

Il suffit de démontrer que 4ⁿ + 1 est congru à 0 modulo 5:

Lorsque n = 2k+1,

4nⁿ (–1)ⁿ = (–1)^2k+1 = –1 (mod 5), donc 4ⁿ +1 0 (mod 5),

tel que souhaité.

On peut aussi noter que les puissances impaires de 4 se terminent toujours par 4 (4¹ = 4, 4³ = 64, 4⁵ = 1024, etc.). Par suite, 4^2k+1 + 1 se termine par 5 et donc est divisible par 5.

Une autre approche signalée par Mir et Hecquet utilise la série géometrique de raison r = -4:

S = 1 + (-4) + (-4)² + ... + (-4)^2k = ; donc 4^2k+1 + 1 = 5S et ainsi 5 divise 4·2^k+1 + 1.

Hecquet note qu'il y a bien d'autres preuves.

Hecquet note d'abord que si n est lui-même composé, n = ab, alors

4ⁿ + 1 = 4^ab + 1 = (4^a + 1)(4^b - 4^b-1 + 4^b-2 + ... + 1),

où 4^a + 1 est un multiple de 5 supérieur à 5 (selon la démonstration précédente), donc

(4ⁿ + 1)/5 = 4^ab + 1 = [(4^a + 1)/5](4^b - 4^b-1 + 4^b-2 + ... + 1).

Par contre, cet argument n'est pas valide lorsque n est premier. La démonstration générale de Hecquet, comme toutes les autres, utilise la factorisation de 4a⁴ + b⁴:

4a⁴ + b⁴ = (2a² + 2ab + b²)(2a² - 2ab + b²).

Nous nous sommes servi de cette factorisation dans la solution du problème d'avril 2004. Lorsqu'on l'applique à 4ⁿ + 1 (en notant n = 2k+1 où k > 1), on obtient

4ⁿ + 1 = 4^2k+1 + 1 = 4·4^2k + 1 = 4·2^4k + 1 = (2·2^2k + 2·2^k + 1)(2·2^2k - 2·2^k+ 1).

Mais 2·2^2k +2·2^k + 1 > 2·2^2k - 2·2^k+ 1, et le plus petit facteur est supérieur à 5, puisque

2·2^2k - 2·2^k + 1 = 2^k+1(2^k - 1) + 1 > 2²(2¹ - 1) + 1 = 5.

Ainsi 4ⁿ + 1, se décompose en un produit de deux facteurs supérieurs à 5. Puisque 4ⁿ + 1 est lui-même divisible par 5, un de ces facteurs est un multiple de 5, et la division de ce facteur par 5 donne une décomposition de(4ⁿ + 1)/5 en un produit de deux facteurs supérieurs à 1. Donc (4ⁿ + 1)/5 est composé.

Problèmes et solutions précédents