Le premier joueur lance une pièce de monnaie 1001 fois, et le deuxième joueur 1000 fois. Quelle est la probabilité que le premier joueur obtienne pile plus souvent que le deuxième?
(Vous êtes priés d'éviter les calculs monstrueux)

Nous avons reçu des solutions correctes de

On comprend que les pièces de monnaie sont équilibrées: P(pile) = P(face) = ½ pour chaque lancer.

Méthode 1. Inspirée des solutions de Bitin, Bornsztein, Fondanaiche, Kais, Loosveldt, LoPresti, et Pilloff.

Lorsque chaque joueur a lancé sa pièce 1000 fois, on a trois résultats possibles.

Resultat A: Le joueur 1 a obtenu pile plus souvent que le joueur 2.

Resultat B: Le joueur 1 a obtenu pile moins souvent que le joueur 2.

Resultat C: Le joueur 1 a obtenu pile aussi souvent que le joueur 2.

Puisque exactement un de ces résultats se produit, P(A) + P(B) + P(C) = 1.

Puisque les pièces de monnaie sont équilibrées, on a P(A) = P(B) = . Le premier joueur pourrait avoir obtenu pile plus souvent que le deuxième de deux façons: il était soit déjà en avance après 1000 lancers, ou bien les scores étaient égaux après 1000 lancers et le dernier lancer du joueur A a donné pile. Soit H, l'événement "le 1001-ième lancer du joueur 1 est pile", de sorte que P(H) = ½. La probabilité que le joueur 1 obtienne plus de piles est donc.

P(A) + P(C)·P(H) = 1/2.

Méthode 2. Inspirée des solutions de Anghibech, Chandrashekara, et LoPresti.

Cette solution est basée sur l'observation que les événements "Le joueur 1 obtient pile plus souvent que le deuxième" et "Le joueur 1 obtient FACE plus souvent que le deuxième" sont complémentaires. En effet, au moins un des deux événements doit se produire puisque le joueur 1 lance sa pièce plus souvent que le joueur 2. Par contre, pour obtenir à la fois plus de piles et plus de faces que le joueur 2, le joueur 1 aurait à lancer sa pièce au moins deux fois de plus que le joueur 2, ce qui n'est pas le cas ici. La probabilité que le joueur 1 obtienne plus de piles et la probabilité que le joueur 1 obtienne plus de faces sont donc toutes les deux de ½.
(LoPresti note qu'en retournant toutes les pièces, on transforme une instance du premier événement en une instance du deuxième, et vice-versa.)

Méthode 3. Généralisation par Juan Mir Pieras.

Par coïncidence, un problème similaire mais plus général est paru l'année dernière dans le journal Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española. La solution de Mir y est parue, et elle généralisait le problème du journal: Si le joueur i lance n_i pièces et obtient pile H_i fois, alors H₁ – H₂ + n₂ suit une loi binomiale de paramêtres n₁ + n₂ et ½. Par conséquent la probabilité que le joueur 1 obtienne k piles de plus que le joueur 2 est

, – n₂ ≤ k ≤ n₁.

La distribution de H1 – H2 + est symmétrique autour de 0. Dans notre problème, n₁ = 1001, n₂ = 1000, et

P(H₁ – H₂ ≥ 1) = P(H₁ – H₂ ≤ 0) = ½.

La solution de Mir (en espagnol) est disponible sur notre page espagnole.

Problèmes et solutions précédents