Solution au problème de janvier 2005

 

Bonne et heureuse année. L'équipe du Problème du Mois vous souhaite pour l'année à venir tout le bonheur et la bonne santé dont vous avez profité l'année dernière:

Déterminez le maximum de f(2006)-f(2005), où f est une fonction à valeurs réelles telle que

|f(x) - f(y)| ≤ (x-y)2

pour tous nombres réels x et y.

Nous avons reçu des solutions correctes de

Saïd Amghibech (Québec)

Aleksandar Ilic (Serbie et Montenegro)

Vincent Bardoux (France)

Wolfgang Kais (Allemagne)

Pierre Bornsztein (France)

Normand Laliberté (Ontario)

Sébastien Dumortier (France)

Matthew Lim (internet)
Philippe Fondanaiche (France) Juan Mir Pieras (Espagne)
Xavier Hecquet (France) Mark Pilloff (États-Unis)

Solution.

En fin de compte, la condition donnée force la fonction f à être constante, de sorte que f(x) = f(y) pour toutes valeurs de x et y; en particulier,

f(2006) - f(2005) = 0.

Nos contributeurs nous ont donné deux façons de le voir.

Méthode 1. (En utilisant l'inégalité du triangle.)
Pour un entier positif n, notons xk = 2005 + k/n, k = 0, 1, ..., n. Alors

f(2006) – f(2005)|= |f(xn) – f(x0)|

                        = |(f(x1) – f(x0)) + (f(x2) – f(x1)) +... + (f(xn) – f(xn–1))|

                        ≤ |(f(x1) – f(x0))| + |(f(x2) – f(x1))| +... + |(f(xn) – f(xn–1))|

                                                                            (selon l'inégalité du triangle)

                        ≤ (x1– x0)2 + (x2– x1)2+... + (xn– xn–1)2           (par définition de f)

                                = n(1/n)2                                                    (par définition de xk)

                                = 1/n


Puisque |f(2006) - f(2005)| ≤ 1/n pour tout entier n, f(2006) - f(2005) = 0 tel qu'affirmé. On peut d'ailleurs remplacer 2005 et 2006 par n'importe quels réels x et y, et poser xk = x + k(y – x)/n dans l'argument ci-haut pour démontrer que f(y) - f(x) vaut toujours zéro, donc f est constante.

Méthode 2. (En utilisant de calcul différentiel.)
Posons y = x + h. Alors la condition donnée implique

|f(x + h) - f(x)| ≤ (x + h - x)2 = h2.

Pour x fixé et pour toute valeur de h, on a alors

Le quotient tend vers zéro lorsque h s'approche de zéro. Ainsi, f est différentiable en tout point, et sa dérivée est identiquement nulle. Par conséquent, f est constante. En particulier, f(2006) - f(2005) = 0.

 

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