MP51: mai 2005

Soit a₀, a₁, a₂, ... une suite telle que

(1) a₁ = 1, et

(2)pour toute paire m >= n d'entiers non négatifs, a_2m + a_2n = 2(a_m+n + a_m–n), Déterminez a₂₀₀₅.

Ce problème est paru dans la compétition par équipes commanditée par la section centrale nord de la Math Association of America, qui s'est tenue au Collège Concordia (Minnesota) le 10 novembre 2001.

Solution au problème de mai 2005

MP50: avril 2005

Les longueurs des côtés consécutifs d'un quadrilatère sont 6, 33, 47 et 34. Quel est l'angle entre ses diagonales?

(Malgré les apparences, ces longueurs n'ont pas été choisies au hasard.)

Solution au problème d'avril 2005

MP49: mars 2005

Si les réels x et y vérifient l'équation
trouvez leur somme x + y.

Merci à Andy Liu de l'Université de l'Alberta pour ce problème du mois.

Solution au problème de mars 2005

MP48: février 2005

Le double-zapping
Ce mois-ci, nous montrons comment on peut se servir de la télévision à des fins éducatives. Supposons que vous ayez deux télévisions côte à côte, une rouge et une bleue, ayant chacune sa télécommande. Vous n'utiliserez que deux boutons sur chaque télécommande, soit le bouton + qui permet de passer à la chaîne suivante et le bouton - qui permet de passer à la chaîne précédente. Nous appelerons double-zapping l'action de peser simultanément sur un bouton de la télécommande rouge et sur un bouton de la télécommande bleue, de façon à changer de chaîne sur les deux télévisions en même temps. Ainsi, de (Chaîne 8, Chaîne 6), on peut double-zapper à (Chaîne 7, Chaîne 5), (Chaîne 7, Chaîne 7), (Chaîne 9, Chaîne 5) ou (Chaîne 9, Chaîne 7).Pour le problème du mois, on suppose que vous avez TROIS télévisions côte à côte, chacune avec sa propre télécommande, et connectées à trois compagnies de câble différentes:

La télévision A est connectée à la compagnie Alpha offrant 70 chaînes (notées A1 a A70),
la télévision B est connectée à la compagnie Beta offrant 60 chaînes (B1 a B60) et
la télévision C est connectée à la compagnie Gamma offrant 94 chaînes (C1 a C94).

Vous réalisez cependant que les compagnies offrant plus de chaînes n'offrent pas plus de choix: Les trois compagnies diffusent exactement les mêmes réseaux, et il y a beaucoup de répétitions. En particulier, les chaînes A1, B1 et C1 sont identiques, et les chaînes A70, B60 et C94 sont identiques. Puis, à la longue, vous réalisez qu'il est possible de double-zapper de (A1,B1) à (A70,B60) de telle sorte que l'émission diffusée sur la télévision A soit toujours la même que celle diffusée sur la télévision B; et de même, qu'il est possible de double-zapper
de (B1,C1) à (B60,C94) de telle sorte que l'émission diffusée sur la télévision B soit toujours la même que celle diffusée sur la télévision C.

Le problème de février: Dans ces conditions, est-il nécéssairement possible de double-zapper de (A1,C1) à (A70,C94) de telle sorte que l'émission diffusée sur la télévision A soit toujours la même que celle diffusée sur la télévision C?

MISE EN GARDE: Il ne faut pas peser sur le bouton - lorsque l'appareil de télévision est à la chaîne 1, ni peser sur le bouton + lorsque l'appareil est à la dernière chaîne. Cela ferait exploser la télévision et invaliderait votre police d'assurance.

Solution au problème de février 2005

MP47: janvier 2005

Tout nombre de dix chiffres formé en alignant les nombres 0, 1, 2, ..., 9 dans un ordre quelquonque est un multiple de 3. Vous pouvez essayer de démontrer ce résultat, mais ne nous envoyez pas votre réponse; ce n'est pas notre problème du mois, mais simplement un petit réchauffement avant de passer aux choses sérieuses. On peut trouver l'idée de la démonstration au site

http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/michel1.html

Passons maintentant aux choses sérieuses: Loin dans l'espace se trouve un petit soleil autour duquel gravite la planète Kuku, dont les habitants sont des amphibiens jaunâtres qui ont cinq mains de deux millions de doigts chacune. Ils font l'arithmétique en base dix millions, plutôt qu'en base dix comme nous. Notre problème du mois est une adaptation terrestre d'un de leurs problèmes d'arithmétique similaire au problème ci-haut: Problème du moisSoit N, un nombre de 70 000 000 chiffres formé en alignant les nombres 0000000, 0000001, 0000002, ..., 9999998, 9999999 dans un ordre quelquonque. Démontrez que N est un multiple de 239.

Solution au problème de janvier 2005

MP46: decembre 2004

Le jeu des tuques (pour les mois d'hiver)

Alice et ses amis Bernard et Christian sont choisis pour jouer au "jeu des tuques": Ils seront assis en cercle de telle sorte qu'ils puissent se voir mutuellement mais ne puissent pas s'entendre. Chacun recevra un sac contenant une tuque à pompon rouge et une tuque à pompon blanc. On leur mettra un bandeau sur les yeux, puis ils sortiront une tuque du sac et se la mettront sur la tête. Ensuite les bandeaux seront enlevés, et chacun pourra voir la couleur du pompon sur la tête des autres mais pas sur la leur. Ils ne pourront pas communiquer par signes ou en criant, et chacun devra murmurer a un arbitre à côté d'eux "je pense que mon pompon est blanc", "je pense que mon pompon est rouge" ou "je passe". Si au moins un des trois devine correctement et aucun ne devine incorrectement, ils gagnent tous un voyage à Moose Jaw. Sinon ils gagnent seulement des jujubes.Alice et ses amis peuvent établir une stratégie avant le début du jeu, pour se donner de meilleures chances de gagner. Par exemple, ils peuvent décider qu'Alice seule devinera, et les autres passeront. Cette stratégie leur donne une chance sur deux de gagner. Est-il possible de faire mieux?

Solution au problème de decembre 2004

MP45: novembre 2004

Ce mois-ci, nous nous transportons au Mathematikum de Giessen, en Allemagne, le musée des mathématiques. Une des expositions montre une lampe et un bouton placés sur chacun des sommets d'un heptagone régulier. Pousser sur un quelconque des 7 boutons change l'état de la lampe associée (si elle était éteinte, elle s'allume; si elle était allumée, elle s'éteint), mais aussi l'état des deux lampes placées sur les sommets voisins. Si, au depart, toutes les lampes sont éteintes, combien de boutons faut-il pousser pour allumer toutes les lampes? Dans quel ordre faut-il les pousser?On peut bien sur généraliser le problème à n lampes et n boutons:En chacun des sommets d'un n-gone régulier convexe (n ≥ 3), on a placé une lampe et un bouton. Le fait de pousser sur un quelconque des n boutons change l'état de la lampe associée (si elle était éteinte, elle s'allume; si elle était allumée, elle s'éteint), mais aussi l'état des deux lampes placées sur les sommets voisins.
Au départ, toutes les lampes sont éteintes. Si on veut qu'elles soient toutes allumées en même temps, on va devoir pousser un certain nombre de fois sur certains des n boutons. Quel est, exprimé en fonction de n, le nombre minimum de pressions sur des boutons permettant d'obtenir ce résultat? Montrez comment le faire, et donnez un argument montrant qu'on ne peut le faire en poussant moins de boutons.

Solution au problème de novembre 2004

MP43: septembre 2004

Sur le cercle unité, on marque les douze sommets d'un dodécaèdre régulier, et on relie ces sommets au centre du cercle, ce qui donne douze rayons. A partir d'un des douze sommets, on mène une perpendiculaire au prochain rayon en sens horaire; puis du pied de cette perpendiculaire, on mène une perpendiculaire au prochain rayon, et ainsi de suite.

Quelle est la somme des longueurs de toutes ces perpendiculaires?

Solution au problème de septembre 2004