Solution au problème de septembre 2004

Sur le cercle unité, on marque les douze sommets d'un dodécaèdre régulier, et on relie ces sommets au centre du cercle, ce qui donne douze rayons. A partir d'un des douze sommets, on mène une perpendiculaire au prochain rayon en sens horaire; puis du pied de cette perpendiculaire, on mène une perpendiculaire au prochain rayon, et ainsi de suite.

Quelle est la somme des longueurs de toutes ces perpendiculaires?

Solution au problème MP43

Nous avons reçu des solutions correctes de

Nous retrouvons avec plaisir plusieurs de nos vieux amis, ainsi que plusieurs nouveaux venus à qui nous souhaitons la bienvenue. Merci à tous pour vos solutions intéressantes. Tout le monde a calculé la somme d'une série pour déterminer que la longueur du chemin est

Après la présentation de cette solution, nous examinerons deux solutions géométriques de Xavier Hecquet et quelques généralisations de Kais, Mir et Szechtmen.

La solution par la série

Notons O le centre et P₀ le point initial sur le cercle unité. Soit P₁, P₂, ..., la suite des pieds des perpendiculaires successives. Les triangles OP_nP_n+1 sont tous des triangles rectangles ayant un angle de 30 degrés à O et de 60 degrés à P_n:

Par suite l'hypoténuse r_n+1 = OP_n+1 du triangle suivant s'obtient en multipliant par cos(30) = √3/2 l'hypoténuse r_n de ce triangle, soit

La ligne polygonale dont nous calculons la longueur est formée des segments P_nP_n+1 ayant pour longueur r_n sin(30) = r_n /2. Par conséquent, la contribution du triangle suivant est

et la somme des longueurs des n+1 premiers segments est

P₀P₁  + P₁P₂ + P₂P₃ + ... + P_nP_n+1 =

soit une serie géométrique de raison √3/2 dont la valeur est

Puisque √3/2 < 1, (√3/2)ⁿ⁺¹ tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, et la limite de la somme est

tel qu'annoncé.

Avec un peu de trigonométrie, on peut se passer de la formule de la somme en observant le diagramme approprié. Hecquet nous a envoyé deux de ces diagrammes.

Premier diagramme.

Ici, notre spirale est dépliée de façon à ce que les segments P_nP_n+1 soient colinéaires. Les triangles rectangles de ci-haut sont en bleu ci-bas, et le point O correspond à la suite de points O₀, O₁, O₂, ...

Or, puisque l'hypothénuse d'un triangle bleu a la même longueur que le côté du triangle bleu précédent, les triangles O_nP_nO_n+1 sont tous isocèles, avec un angle de 30 degrés à P_n et des angles de 75 degrés à O_n et O_n+1. Par conséquent, les points O₀, O₁, O₂, ... sont colinéaires. La droite passant par ces points coupe la droite passant par P₀, P₁, ... en un point qu'on note P, et la longueur recherchée est celle du segment P₀P. Notons que ce segment est l'hypothénuse du triangle rectangle P₀PO₀, qui a un angle de 15 degrés à P, donc cos(15) = O₀P₀/P₀P = 1/P₀P. La longueur recherchée est donc

P₀P = 1/cot(15⁰).

On peut vérifier que cette valeur est bien celle obtenue précédemment en utilisant la formule du demi-angle:

et donc 1/cos(15) = 1/(2-√3) = 2 + √3.

Deuxième diagramme.

Nous alignons encore une fois les triangles, mais cette fois-ci tête-bêche, tel qu'illustré ci-bas.

On obtient un triangle rectangle 30-60-90, et les segments constituant notre ligne brisée en recouvrent l'hypothénuse et le plus long côté. Puisque le côté opposé à l'angle de 30 degrés a une longueur de 1, l'hypothénuse et le plus long côté ont des longueurs respectives de 2 et √3, pour une longueur totale de 2 + √3.

Généralisations.

Il est facile d'adapter nos arguments au cas où le cercle est divisé en n parties plutôt que douze. En général, si l'angle P_nOP_n+1 est φ, la longueur du chemin sera .