Tout nombre de dix chiffres formé en alignant les nombres 0, 1, 2, ..., 9 dans un ordre quelquonque est un multiple de 3. Vous pouvez essayer de démontrer ce résultat, mais ne nous envoyez pas votre réponse; ce n'est pas notre problème du mois, mais simplement un petit réchauffement avant de passer aux choses sérieuses. On peut trouver l'idée de la démonstration au site

http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/michel1.html

Passons maintentant aux choses sérieuses: Loin dans l'espace se trouve un petit soleil autour duquel gravite la planète Kuku, dont les habitants sont des amphibiens jaunâtres qui ont cinq mains de deux millions de doigts chacune. Ils font l'arithmétique en base dix millions, plutôt qu'en base dix comme nous. Notre problème du mois est une adaptation terrestre d'un de leurs problèmes d'arithmétique similaire au problème ci-haut:

Problème du mois

Soit N, un nombre de 70 000 000 chiffres formé en alignant les nombres 0000000, 0000001, 0000002, ..., 9999998, 9999999 dans un ordre quelquonque. Démontrez que N est un multiple de 239.

Solution au problème MP47

(10⁷)^k 1 (mod 239). (*)

(En d'autres termes, (*) veut dire que si l'on divise n'importe quelle puissance de  107 par 239, le reste est 1.) Sans calculatrice, Abdeh-Kolahchi en est venu à cette conclusion en notant que

10⁷ = (10³)² ·10 = (956 + 44)² ·10 (44)² ·10 = (1912 + 24)·10 24·10 1 (mod 239).)

Le nombre N s'écrit

N = B₁ + B₂10⁷ +B₃(10⁷)² + ... +B_10000000(10⁷)^9999999,

où B₁, B₂, B₃, ... constitue la liste complète des blocs de 7 chiffres. Selon notre observation (*),  N B₁ + B₂ + B₃ + ... + (mod 239). En fait cette somme est celle des entiers de 0 à 10⁷ - 1, donc

N    (10⁷ - 1) · 10⁷ / 2 (mod 239).

Puisque 10⁷ est divisible par 2,  N est congru modulo 239 à un multiple de (10⁷ - 1), qui est divisible par 239; par conséquent N lui-même est divisible par 239. Notre argument montre en fait que N est divisible par 9999999, donc par tous les diviseurs de 9999999. On peut d'ailleurs remplacer 107par n'importe quelle base b, tel que noté par plusieurs de nos correspondants:

Lorsque tous les "chiffres"  0, 1, 2, ..., b - 1, d'un système de numération en base b sont mis bout à bout dans un ordre quelquonque pour représenter un nombre en base b, ce nombre est divisible par b - 1 lorsque b est pair, et par (b - 1)/2 lorsque b est impair.

Malheureusement, cette jolie propriété n'impressionne sans doute pas les inconditionnels de la base 2; tant pis pour eux. Cependant nous sommes fiers de compter parmi nos correspondants quelques inconditionnels de la base 10, qui nous ont présenté la variante suivante.

Solution 2 (La méthode de Phan et de la Viuda). On examine d'abord les premiers résidus modulo 239 des puissances de 10, pour découvrir le critère de divisibilité:

100 1(mod 239) 101 10(mod 239) 102 100(mod 239) 103 44(mod 239)

104 201(mod 239) 105 98(mod 239) 106 24(mod 239) 107 1(mod 239)

et le cycle de longueur 7 se répète indéfiniment. Dans notre nombre N, chaque bloc de 7 chiffres est de la forme

a·10^7k + b·10^7k+1 + c·10^7k+2 + d·10^7k+3 + e·10^7k+4 + f·10^7k+5 + g·10^7k+6

a·1 + b·10 + c·100 + d·44 + e·201 + f·98 + g·24 (mod 239).

Parmi les 10⁷ façons de remplacer les variables  a à g par des chiffres de 0 à 9, chacune des variables se verra assigner chacune des valeurs 0 à 9 exactement 10⁶ fois. Par conséquent, pour k = (0 + 1 + 2 + ... + 9)·10⁶ = 45·10⁶, on a

N k(1 + 10 + 100 + 44 + 201 + 98 + 24) = k·478 0 (mod 239),

donc N est divisible par 239.