Les entiers positifs n et d sont choisis tels que
(a) n est un multiple de d
(b) n2 + d2 est un multiple de nd + 1
Quelles sont les valeurs possibles de n et d?
Solution au problème MP41
Nous avons recu les solutions de Saïd Amghibech (Québec), Pierre Bornsztein (France), Gilles Feyrit (France), Xavier Hecquet (France), Wolfgang Kais (Allemagne), Normand Laliberté (Ontario), Patrick J. LoPresti (États Unis) et Juan Mir Pieras (Espagne).
Réponse: d peut être n'importe quel entier positif, et n = d3.
Toutes les solutions commencent en exprimant la condition (a) sous la forme n = kd pour un entier k ≥ 1. Le but est alors de démontrer k = d2, ce qui implique n = d3. Nous donnons cinq façons de démontrer ce résultat.
Solution 1 par Amghibech, Kais, et Mir.
En substituant kd à n, la condition (b) dit que d2k2 + d2 = d2(k2 + 1) est un multiple de kd2 + 1. Puisque d2 et kd2 + 1 sont relativement premiers, on en déduit que
k2 + 1 est un multiple de kd2 + 1 . (1)
Ces deux valeurs étant positives, on a alors k2 + 1 > kd2 + 1, donc
k > d2. (2)
Par suite, le nombre (k2 + 1) - (kd2 + 1) = k(k - d2) est non-négatif selon (2), et multiple de kd2 + 1 selon (1). Puisque k et kd2 + 1 sont relativement premiers, k - d2 est un multiple de kd2 + 1, mais puisque kd2 + 1 > k > k - d > 0, ceci implique que ce multiple est nul: k - d2 = 0, soit le résultat annoncé.
Solution 2 par Bornsztein.
On utilise une déduction de la solution 1 exprimée en arithmétique modulaire:
k - d2 
0
(mod kd2 + 1).
Ainsi, en travaillant modulo kd2 + 1, on a k d2. En
multipliant les deux côtés par k, on obtient k2 kd2 -1;
et en prenant le carré de chaque côté, on obtient
d4 k2 kd2 -1. Par
conséquent
k2 + 1
et d4 + 1 sont tous deux des multiples de kd2 + 1. On a alors kd2 +
1 ≤ k2 + 1 et kd2 + 1 ≤ d4 +
1. Selon
la première inégalité,
d2 ≤ k, et selon la deuxième, k ≤ d2 ce
qui implique k = d2.
Solution 3 par Laliberté.
Selon la condition (b) il existe un entier c ≥ 1 tel que n2 + d2 = c(nd + 1). Avec n = kd (selon la condition (a)) on a k2 d2 + d2 = ckd2 + c, soit
d2(k2 + 1 - ck) = c. (3)
Puisque d2 et c sont positifs, k2 + 1 - ck ≥ 1, ce qui implique
k ≥ c. (4)
Cependant, puisque d2 ≥ 1, on a k2 + 1 - ck ≥ c selon (3) , donc k2 + 1 ≥ c(k+1), soit
(k2 - 1 + 2)/(k+1) = (k2 - 1)/(k+1) + 2/(k+1) = k-1 + 2/(k+1) ≥ c.
Par suite, c > k-1, donc c ≥ k. Ainsi, c = k selon (4). En posant c = k dans (3), on obtient d2(k2 + 1 - k2) = k, ce qui implique k = d2.
Solution 4 par Hecquet.
En conservant la notation de Laliberté, on a d2(k2 + 1 - ck) = c où c et k sont des entiers positifs, et k2 + 1 - ck ? 1. Il suffit de démontrer que k2 + 1 - ck = 1, c'est à dire c = k. Posons z = k - c. Alors l'équation d2(k2 + 1 - ck) = c devient d2(kz + 1) = c, donc z = k - c = k - d2(kz + 1) = k - d2kz - d2, et ainsi
z + d2 = k(1 - d2z). (5)
Notons que l'entier z est non-négatif puisque c = d2(kz + 1) est strictement positif. Si z est strictement positif, alors le terme de droite de l'équation (5) est négatif alors que le terme de gauche est positif, ce qui est impossible. Donc z = 0, ce qui implique k = c.
Solution 5 par Gilles Feyrit et par les étudiants qui ont écrit l'examen d'Alberta de l'année dernière.
La condition c(kd2 + 1) = d2 (k2 + 1) = k(kd2 + 1) + d2 - k peut s'écrire (c - k)(kd2 + 1) = d2 - k, soit
Le dénominateur kd2 + 1 des fractions de droite est supérieur chacun des numérateurs d2 et k, donc la différence est strictement comprise entre -1 et 1. Or, cette différence est entière puisqu'elle vaut c - k. Donc, c - k = 0 (le seul entier strictement compris entre -1 et 1), ce qui implique k = d2.c - k = (d2 - k)/(kd2 + 1) = d2/(kd2 + 1) - k/(kd2 + 1).
Problèmes et solutions
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