Décembre 2003 solution

Dans les magasins on trouve des calendriers perpétuels formés d'une paire de cubes dont les faces montrent chacune un numéro de 0 à 8. Les chiffres sont placés de telle sorte qu'il soit possible de représenter les 31 jours que peuvent avoir un mois: Le premier cube a les chiffres 0 à 5 sur ses faces, et l'autre les chiffres 0, 1, 2, 6, 7, 8.

On inverse le 6 pour les dates comportant un 9, et la présence des chiffres 0, 1 et 2 sur les deux dés permet d'écrire les nombres 11, 22 ainsi que les dates à un chiffre. Nous comptons en base dix parce que nous avons dix doigts. Notre problème du mois demande de concevoir de tels cubes pour faire des calendriers perpétuels dans des bases plus petites que dix. En particulier:

Peut-on placer des nombres en base 2 sur chacune des douze faces de façon à pouvoir représenter les 31 dates possibles en base 2? De préférence on aimerait utiliser le moins de faces possibles pour placer des messages publicitaires sur les faces restante.
Peut-on aussi utiliser la base 9?

On trouve la liste des nombres 1 à 30 en base 2 au site

http://mathworld.wolfram.com/Binary.html

et quelques indications sur les conversions entre bases diverses au site

http://MathCentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.02/christian1.html

Solution au problème MP37

Ce mois-ci, nous avons reçu des solutions de Wolfgang Kais (Allemagne), de Matthias Nurnberger (massmed.org), deux solutions de Patrick LoPesti (Etats Unis) et deux de Normand Laliberté (Ontario). Toutes ces solutions étaient différentes, et chacune avait une particularité intéressante. On les présente toutes dans le tableau ci-bas.

	cube 1	cube 2
Kais	00, 01, 11	000, 001, 010, 011, 101, 111
Kais (Variation)	00, 01, 11	01, 11, 100, 101, 110, 111
Laliberté 1	00, 01, 11	001, 010, 011, 101, 111
Laliberté 2	0, 1, 0001, 0010, 0011, 0101	0,1, 0111, 1011, 1111
LoPresti	000, 001, 010, 011, 100, 101	00, 01,10,11, 110, 111
Nurnberger	0,1, 11, 100, 101	0, 1, 10, 11, 110

Laliberté gagne: sa solution 1 n'utilise que huit faces, laissant quatre faces disponibles pour des messages publicitaires. Cette idée va sans doute bien exciter les annonceurs de Viagra. Sa première solution est la même que celle de Kais, sauf qu'il a réussi à se passer du 000. L'avantage d'utiliser le 000 est qu'on voit tout de suite que ca marche: On obtient les dates de 1 à 7 avec les triples chiffres du deuxième cube avec 00 devant, puis celles de 8 à 15 avec 01 devant, celles de 16 à 23 avec 10 devant (soit 01 à l'envers), puis celles de 24 à 31 avec 11 devant. Laliberté a remarqué qu'on peut se passer du 000 en écrivant (010)(00) pour 8, (100)(00) pour 16 et (110)(00) pour 24.

LoPesti note que le chiffre 1 est asymétrique dans toutes les fontes. Aussi, il présente une solution qui n'utilise pas la symétrie, ce qui risque de décevoir les annonceurs (puisqu'il utilise les douze faces).

La solution de Nurnberger présente une belle symétrie, utilisant cinq faces par cube. Par contre il s'est servi d'un subterfuge assez incongru, en combinant la base 10 avec la base 2. Ainsi 16 est représenté comme (1) suivi de (110) (soit 6 en base 2). Ce n'est donc pas une véritable représentation en base 2, mais puisque les règles du jeu étaient assez vagues, l'originalité de la solution a eu raison des objections des puristes.

On peut facilement vérifier que les autres solutions sont correctes (en se rappelant que les cubes sont inversibles sauf dans la solution de LoPesti). Voici les nombres de 1 à 31 en base 2; il suffit de vérifier que tous ces nombres s'écrivent avec les cubes de chacune des solutions.

L'explication de LoPesti donne une motivation à la solution de Kais ainsi qu'à sa variante. Il commence par résoudre le problème en base 8 avec les cubes suivants: Cube 1a: 0, 1, 2, 3, 4, 5 Cube 2a: 0, 1, 2, 3, 6, 7. Comme les dates en base 8 s'écrivent 1, 2, ..., 7, 10, 11, ..., 17, 20, 21, ..., 27, 30, 31, ..., 37; on peut écrire toutes ces dates en plaçant le cube 1a à l'avant pour les dates se terminant en 6 ou 7, et le cube 2a à l'avant pour les autres dates.

On peut ensuite convertir ces nombres en binaire pour obtenir Cube 1b: 000, 001, 010, 011, 100, 101 Cube 2b: 000, 001, 010, 011, 110, 111, qui composent la solution de LoPesti. En se servant d'inversions, on peut ensuite éliminer les chiffres redondants pour essayer de libérer le plus de faces qu'on peut.

En réponse à la partie (b), on ne peut pas se servir de nombres en base 9 pour faire un tel calendrier: les dates 11, 22 et 33 sont toutes possibles en base 9 donc les deux cubes doivent afficher les chiffres 1, 2, 3. Les six faces qui restent doivent comporter les chiffres restant, soit 0, 4, 5, 6, 7, 8. Ainsi il sera impossible d'écrire toutes les dates 04, 05, ..., 08 (à moins d'omettre le 0 initial).