Déterminez les entiers positifs n pour lesquels n⁴ + 4ⁿ est un nombre
premier.

Solution au problème MP41

Nous avons reçu des solutions de Saïd Amghibech (internet), Pierre Bornsztein (France), Gilles Feyrit (France), Wolfgang Kais (Allemagne), Patrick LoPresti (Massachusetts), Juan Mir Pieras (Espagne) et solution partielle de Normand Laliberté (Ontario). Toutes les solutions démontrent que

S := n⁴ + 4ⁿ est premier seulement lorsque n = 1;
on a alors S= 5.

Tout le monde a remarqué que lorsque n est pair, n⁴ et 4ⁿ sont tous deux multiples de 16, donc S n'est pas premier. Le problème se réduit donc au suivant:

 

Determinez les nombres n = 2k + 1, k ≥ 0 pour lesquels

S = n⁴ + 4^2k+1 = n⁴ + 4(4^k)²

est un nombre premier.

1. Solution de Amghibech et Bornsztein.

On utilise l'identité

a⁴ + 4b⁴ = (a² + 2ab + 2b²)(a² - 2ab + 2b²)
=((a+b)² + b²)((a-b)² + b²)

(Le site http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html donne des références (en anglais) sur la factorisation de polynômes de degré quatre.)

Puisque S = n⁴ + 4(2^2k)² = n⁴ + 4(2^k)⁴ on peut se servir de cette identité avec a = n et b = 2^k. On obtient

S = ((n + 2^k)² + 2^2k)((n - 2^k)² + 2^2k)

Le plus petit de ces deux facteurs, soit ((n - 2k)² + 2^2k), vaut 1 lorsque k = 0 (donc n = 1), et est supérieur à 1 lorsque k est supérieur à 1. Donc S est premier seulement lorsque k = 0.

2. Solution de Feyrit, Kais et LoPresti.

On utilise l'identité r² + s = (r+s)² - 2rs, avec r = n² et s = 2(4^k), ce qui donne

S = (n² + 2(4^k))² - 4n²4^k = (n² + 2(4^k))² - n²4^k+1

Puisque 4^k+1 = (2^k+1)², S est une différence de deux carrés, qui admet la factorisation suivante:

S = ((n² + 2(4^k)) + n(2^k+1))((n² + 2(4^k)) - n(2^k+1))

Lorsque k = 1, le plus petit facteur est 5, et lorsque k = 2, le plus petit facteur est 17. Pour des valeurs de k supérieures, le plus petit facteur est

n² + 2(4^k) - n(2^k+1) = n² + 2^k(2^k+1) - (2k+1)(2^k+1)
> 2^k(2^k+1) - (2k + 1)(2^k+1)
= (2^k - 2k - 1)(2^k+1)
> 1

Ainsi dans tous les cas la factorisation est non triviale.

3. Observation de LaLiberté et LoPresti.

Les valeurs initiales de S sont 5, 32, 145, 512, ..., ce qui pourrait laisser croire que S est un multiple de 5 lorsque n est impair. En fait, lorsque n est impair et n'est pas un multiple de 5, n⁴ (mod 5) = 1 et 4ⁿ (mod 5) = -1, donc S = n⁴ + 4ⁿ est un multiple de 5. Il reste donc seulement à régler le cas n = 5k où k est impair. Pour k = 1, S = 1649 = 17·97 ce qui démontre que cette approche ne se généralise pas. L'observation (97 - 17)/2 = 40 = 2³5 peut suggérer la factorisation suivante (lorsque n = 5k):

S = n⁴ + 4ⁿ = n⁴ + 4^5k = n⁴ + 2^10k
= (n² + 2^5k + 2^(5k+1)/2 n)(n² + 2^5k - 2^(5k+1)/2 n)

ce qui est un cas particulier de la première solution ci-haut.