Solution au problème de mai 2002

Ce problème est tiré de la cinquième compétition annuelle par équipes organisée par la section centrale nord de la Math Association of America, qui a eu lieu le 10 novembre 2001.

La partie fractionnaire F(r) d'un nombre r est définie comme suit:

F(r) = r - (le plus grand entier qui ne dépasse pas r). Par exemple, F(12.34) = 0.34, F( 11/2) =  1/2, F( 8/3) =  2/3, F() = 0.414213562... Notre problème pour le mois de Mai: Trouvez un nombre positif r tel que F(r) + F( 1/r) = 1.



Solution. Nous avons reçu des solutions correctes de

John Campbell (Edmonton, Alberta)
Normand Laliberté (Kitchener, Ontario)
Juan Mir Pieras (Espagne)
Alexander Potapenko (Russie)
Eulogio Ruiz-Sevilla (Espagne) Tous ont donné une solution générale au problème de trouver tous les nombres positifs r satisfaisant aux conditions imposées. On présente une combinaison de leur cinq solutions.

On note d'abord que r ne vaut pas 1, parce que F(1) = F( 1/1) = 1. On peut donc supposer que r > 1 et 0 < 1/r < 1. Notre supposition F(r) + F(1/r) = 1 implique alors que r + 1/r est un entier. Posons r + 1/r = n; on a alors r 2 - nr + 1 = 0, d'où

Réciproquement, pour tout entier n >= 3, on a Puisque le produit de ces deux nombres est 1, on a Ainsi donc l'équation (*) donne une solution à notre problème pour tout entier n >= 3. On doit exclure le cas n = 2 parce qu'il correspond à la solution fausse r =  1/r = 1. Ainsi les deux plus petites solutions sont n = 3:
 n = 4:
 Commentaires sur le nombre d'or.

Même si tous nos correspondants ont répondu à la question générale de caractériser toutes les solutions (ce qui est plus intéressant et difficile), notons qu'il suffisait de trouver seulement un nombre r tel que F(r) + F( 1/r) = 1. C'eut été un exercice facile pour quiconque se souvient des propriétés du nombre d'or. On utilise généralement la lettre grecque pour désigner le nombre d'or, soit la racine positive de l'équation x 2 = x + 1. On a donc et l'équation permet de calculer les puissances de simplement avec des additions. Par exemple, en multipliant les deux côtés par , on obtient . On peut aussi diviser les deux côtés par pour obtenir , soit . Après une seconde division par , cette équation devient . Ainsi, est une solution à notre problème original: Il s'agit de la solution correspondant à n = 3 dans notre solution générale.

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