Solution au problème de décembre 2001


Il existe un seul entier n pour lequel l'expression

est un nombre entier. Déterminez cette valeur n et démontrez qu'il n'en existe pas d'autres.

Solution

Ce problème illustre comment les ordinateurs ont changé les mathématiques ces vingt dernières années. On donne deux solutions; la première date de vingt ans et est due a feu W.J. Blundon de Memorial University (Terre Neuve), et la deuxième est due à Juan Mir Pieras d'Espagne.

Le problème est tiré de Crux Mathematicorum 7:1 (1981), page 31. La solution de Blundon utilise une astuce élégante dont il vaut la peine de se souvenir. à l'aide de la division synthétique on obtient

12n3 - 5n2 - 251n + 389 = (2n+9)(6n2 -37n + 45) + (15n2 -8n -16) d'où Pour que ce nombre soit un entier, 3n-5 doit diviser le numérateur. Or, 3n-5 et 3n-4 sont relativement premiers puisqu'ils sont consécutifs. Donc, pour que E(n) soit un entier, 3n-5 doit diviser 5n+4.

Maintenant, l'astuce: Si 3n-5 divise 5n+4, il divise aussi

3(5n+4) - 5(3n-5) = 37. Puisque 37 est premier, on en conclut que 3n-5 vaut soit 1, -1, 37 ou -37. Il suffit alors d'inspecter ces quatres cas:
  1. 3n-5 = -1 implique n = 4/3, soit une valeur fractionnaire.

  2. 3n-5 = -37 implique n = -32/3, soit une valeur fractionnaire.

  3. 3n-5 = 1 implique n = 2, et E(2) = 27/5, soit une valeur fractionnaire.

  4. 3n-5 = 37 implique n = 14 et E(14) = 41.
Ainsi, E(n) est entier si et seulement si n = 14.

Solution de Juan Mir Pieras: On peut également utiliser la division synthetique pour obtenir

On note que l'expression tend vers zero lorsque n tend vers plus ou moins l'infini. En particulier, pour toute valeur de n supérieure a 32 ou inférieure à -23, on a
ce qui implique que E(n) n'est pas un nombre entier. Il suffit donc d'inspecter cas par cas les valeurs E(n), n allant de -23 a 32.

De nos jours, la pluspart des gens ont accès à un ordinateur qui leur permet de calculer rapidement un grand nombre de valeurs de E(n). Ici, l'examen des 56 valeurs possible de n donne une seule solution entière pour E(n), soit E(14) = 41.

En résumé, nos deux solutions commencent par une analyse qui permet de réduire à un nombre fini les candidats possibles pour la valeur de n; on complète ensuite en analysant ces candidats cas par cas. Les quatres cas de la première solution s'étudient fort bien à la main; il serait bien sur possible de faire de même avec les 56 cas de la deuxième solution, mais c'est un exercice long et pénible, qu'il est bien pratique de confier à un ordinateur.

Problèmes et solutions précédents
 
Centrale des Maths